Question

Considere y como sendo a variável independente e x como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar dx/dy

x^4y^2 - x^3y^2 + 2xy^3

Mostre fazendo a derivação implícita que a tangente à elipse x^2/a^2 + y^2/b^2=1 no ponto (xo,yo) é

Answer 1

vc deve ter esquecido de colocar a igualdade .. mas blz

$\boxed{x^4y^2-x^3y^2+2xy^3}$

derivando vc tera que usar a regra do produto em cada parcela que tiver (xy)
U' * V + U * V'
quando vc derivar o x ficara dx/dy 
quando derivar o y ficaria dy/dy = 1 ..então n precisa escrever dy/dy

$\frac{d}{dy}(x^4y^2)- \frac{d}{dy}(x^3y^2)+2 \frac{d}{dy}(xy^3) \\\\ (4x^3\frac{dx}{dy}*y^2+x^4*2y)-(3x^2\frac{dx}{dy}*y^2+x^3*2y)+2*(1\frac{dx}{dy}*y^3+x*2y)\\\\ (4x^3y^2)\frac{dx}{dy}+2x^4y -(3x^2y^2)\frac{dx}{dy}+2x^3y+(2y^3)\frac{dx}{dy}+2xy\\\\\\ \frac{dx}{dy}(4x^3y^2-3x^2y^2+2y^3)+2x^4y+2x^3y+2xy\\\\\\\boxed{\boxed{\frac{dx}{dy}*y^2(4x^3-3x^2+2y)+2xy(x^3+x^2+x)}}$

ai se tiver a igualdade  vc isola o dx/dy 

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$\boxed{\boxed{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 }}$

derivando  para encontrar dy/dx
(a, b) são constantes

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y \frac{dy}{x} }{b^2} =0\\\\ \frac{2x*b^2+2y \frac{dy}{dx}*a^2 }{a^2*b^2} =0\\\\2xb^2+2ya^2 \frac{dy}{dx}=0 \\\\2(xb^2+ya^2 \frac{dy}{dx})=0 \\\\xb^2+ya^2 \frac{dy}{dx}=0 \\\\ \boxed{\boxed{\frac{dy}{dx}= -\frac{xb^2}{ya^2} }}$

equação da reta tangente que passa pelo ponto (x0 , y0)

$y= \frac{dy}{dx}(x-x_0)+y_0\\\\y= -\frac{xb^2}{ya^2} *(x-x_0)+y_0\\\\y-y_0 = \frac{-xb^2}{ya^2}(x-x_0) \\\\ y(y-y_0)= -x(x-x_0)* \frac{-b^2}{a^2} \\\\ \frac{y(y-y_0)}{b^2}= \frac{-x(x-x_0)}{a^2} \\\\ \frac{y(y-y_0)}{b^2}+ \frac{x(x-x_0)}{a^2} =0\\\\ \frac{y^2-y_0*y}{b^2}+ \frac{x^2-x_0*x}{a^2}=0\\\\ \boxed{\boxed{\frac{y^2}{b^2}- \frac{y_0*y}{b^2}+ \frac{x^2}{a^2} - \frac{x_0*x}{a^2}=0}}$

como 
$\boxed{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 }$

então 
$\frac{y^2}{b^2}- \frac{y_0*y}{b^2}+ \frac{x^2}{a^2} - \frac{x_0*x}{a^2}=0\\\\1- \frac{y_0*y}{b^2}- \frac{x_0*x}{a^2}=0 \\\\\\\\\boxed{\boxed{1= \frac{x_0*x}{a^2}+ \frac{y_0*y}{b^2} }}\to \text{ tangente}$