Question

Uma escada de 10 metros que deve fazer com o plano do solo (horizontal) um ângulo superior a 50° e inferior a 75°.
Quais são as alturas mínima e máxima que se pode atingir com a escada.

Answer 1

Resposta:

Altura mínima: 7,7 metros;

Altura máxima: 9,625 metros.

Explicação passo-a-passo:

Perceba que, quando a escada é posicionada fazendo um ângulo com o plano horizontal, ela se comporta como a hipotenusa de um triângulo. Se ela está fazendo um ângulo de 75º, concorda que, por ser um ângulo menos inclinado, maior será a altura? Portanto, a altura máxima será quando ela faz um ângulo de 75º e a altura mínima quando ela faz um ângulo de 50º.

Vamos começar calculando a altura máxima:

Pra isso, vamos usar relações trigonométricas.

O seno de um ângulo é definido pelo cateto oposto dividido pela hipotenusa. Sabemos que o "cateto oposto" deste triângulo é a altura da escada, enquanto a hipotenusa é o próprio comprimento desta escada. Chamando a altura de h, podemos escrever:

$sen(75^{o})=\frac{h}{10}$

Porém, qual é o seno de 75º? Pra isso, vamos descobrir usando transformações trigonométricas. Uma das fórmulas das transformações trigonométricas é a seguinte:

$sen(a+b) = sen(a) * cos(b) + sen(b) * cos(a)$

Sabemos que 75 é 30 + 45. Portanto, podemos escrever:

$sen(30 + 45) = sen(30) * cos(45) + sen(45) * cos(30)$

Construindo aquela tabelinha de valores trigonométricos temos:

$sen(30 + 45) = \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} * \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sen(30+45)= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

$sen(75^{o}) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Agora, calculamos a altura h:

$sen(75^{o}) = \frac{h}{10} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Multiplicando a fração em cruz:

$10\sqrt{2}+10\sqrt{6} = 4h$

Isolando o h dividindo ambos os lados por 4:

$h = \frac{10\sqrt{2}+10\sqrt{6}}{4}$

Simplificando:

$h = \frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{2}$

Aproximando raiz de 2 de 1,41 e raiz de 6 de 2,44:

$h = \frac{5 * 1,41 + 5 * 2,44}{2}$

$h = \frac{7,05+12,2}{2}$

$h = \frac{19,25}{2}$

$h = 9,625$

Agora, calculando a altura mínima:

Usando o mesmo conceito:

$sen(50^{o}) = \frac{h}{10}$

Agora... o número 50º não tenho certeza se é possível encontrar apenas usando 60, 45 e 30. Portanto, vou considerar, aproximando:

$sen(50^{o})= 0,77$

Sendo assim, substituímos:

$0,77 = \frac{h}{10}$

Multiplicando ambos os lados por 10:

$h = 7,7$