Respostas
Nessa questão queremos provar a identidade do produto vetorial triplo. Para isso recordamos as seguintes propriedades do produto vetorial:
P1) O produto vetorial é anticomutativo:
u x v = - (v x u)
P2) O vetor u x v é perpendicular a u e a v:
u·(u x v) = 0
v·(u x v) = 0
P3) O produto vetorial é (bi)linear:
(u + λv) x w = (u x w) + λ(v x w)
u x (v + λw) = (u x v) + λ(u x w)
Voltando ao problema, seja z = u x (v x w). Notamos então pela propriedade P2 que z é perpendicular a v x w. Isso quer dizer que z é combinação linear de v e w (recomendo fazer um desenho até isso ficar claro). Logo existem escalares m e n tais que
z = mv + nw ( I )
Agora só resta mostrar que m = u·w e n = -(u·v)
Tomando o produto escalar por u na equação ( I ) temos:
u·z = m(u·v) + n(u·w)
Mas u·z = 0 pela propriedade P2. Daí
m(u·v) + n(u·w) = 0
A equação acima é um sistema linear com infinitas soluções que podem ser parametrizadas por:
m = t(u·w)
n = -t(u·v)
Assim, até agora temos:
u x (v x w) = t(u·w)v - t(u·v)w
Para finalizar e encontrar o valor de t adequado (veja observação 2 no final) basta escolher algum valor para u, v e w. Por exemplo, para u = v = (1,0,0) e w = (0,1,0) concluímos que t = 1. Portanto vale que:
u x (v x w) = (u·w)v - (u·v)w ( II )
Obs. 1:
Essa identidade também pode ser escrita como
(u x v) x w = (w·u)v - (w·v)u ( III )
Notamos que a posição do parênteses modifica o resultado. Isso quer dizer que o produto vetorial não é associativo. Para provar ( III ) basta usar ( II ) e a propriedade P1.
Obs. 2:
Outra forma (mais fácil de fazer, mas requer mais conhecimento prévio na minha opinião) de se resolver esse problema é verificar que essa fórmula vale para uma base, por exemplo, para {i, j, k}. Como ambos os lados de ( II ) são lineares em u, v e w, então a fórmula vale sempre. Usamos isso indiretamente no passo final.