Question

1) A função f(t) = –t2 + 12t + 20 representa o número de quilômetros de congestionamento, em função da hora do dia (a partir das 12 horas), registrado em uma cidade. Temos que f(t) é o número de quilômetros e t é a hora dada pela seguinte convenção: t = 0 corresponde às 12 horas, t = 1 corresponde às 13 horas, e assim por diante, até t = 8 (20 horas). O horário em que o número de quilômetros de congestionamento é máximo é:


Escolha uma:
a. 18 horas
b. 19 horas
c. 20 horas
d. 17 horas
e. 16 horas


2) Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 600x – 2x2 e C(x) = 2x2 – 400x. O valor máximo que maximiza o lucro é:


Escolha uma:
a. 51 000
b. 54 600
c. 57 850
d. 60 000
e. 62 500

Answer 1

Explicação:

Boa tarde, não sei o seu curso, ou se as questões são de nível médio ou superior. Pois, irei resolver aplicando derivação. Caso não tenha ainda estudado essa técnica, procurar por vértices da parábola.

1)

$f(t) = - {t}^{2} + 12t + 20$

deriva e iguala a zero:

$\frac{df(t)}{dt} = - 2t + 12$

Assim:

$\frac{df(t)}{dt} = 0$

$- 2t + 12 = 0$

$- 2t = - 12$

$t = \frac{ - 12}{ - 2}$

$t = 6$

Pela convenção é 18 horas.

2)

No lucro máximo, a derivada da receita é igual a derivada do custo.

$r(x) = 600x - 2 {x}^{2}$

$c(x) = 2 {x}^{2} - 400x$

Derivando :

$\frac{dr(x)}{dx} = 600 - 4x$

$\frac{dc(x)}{dx} = 4x - 400$

Dessa forma :

$4x - 400 = 600 - 4x$

$4x + 4x = 600 + 400$

$8x = 1000$

$x = \frac{1000}{8}$

$x = 125$

Temos:

$r(x) = 600(125) - 2(125 {)}^{2}$

$r(x) = 43750$

$c(x) = 2( {125)}^{2} - 400(125)$

$c(x) = - 18750$

O lucro será:

$\pi =r(x) - c(x)$

$\pi = 43750 - ( - 18750)$

$\pi = 43750 + 18750$

$\pi = 62 \: 500$