Question

O movimento de uma partícula e definido pela relação x=t³-9t²+24t-8, onde x e t são expressos em milímetros e segundos, respectivamente. Determine: a) o tempo quando a velocidade for zero, b) a posição e a distancia total percorrida quando a aceleração e zero.

Answer 1

• O que é derivação?

A derivação é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral que consiste em, a partir de uma função f(x) dada, encontrar uma outra função f'(x), chamada de derivada, que representa a taxa em que f(x) varia à medida em que x varia.

• Resolvendo o problema

$x=t^3-9t^2+24t-8$

a) o tempo quando a velocidade for zero

A velocidade é a derivada do deslocamento, logo,

$v=\dfrac{dx}{dt}\\\\v=\dfrac{d}{dt}~t^3-9t^2+24t-8\\\\v=3t^2-18t+24\\\\v=t^2-6t+8$

Usando Bháskara, encontraremos o valor de t quando v for igual a zero.

$\text{Coeficientes: a = 1, b = -6 e c = 8}\\\\\Delta=b^2-4\;.\;a\;.\;c=(-6)^2-4\;.\;1\;.\;8=36-32=4\\\\t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\;.\;a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2\;.\;1}=\frac{6\pm2}{2}\\\\t_1=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\t_2=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$

Portanto, a velocidade será igual a zero em dois momentos:

$t=2s\\t=4s$

b) a posição e a distância total percorrida quando a aceleração é zero

A aceleração é a derivada da velocidade, logo,

$a=\dfrac{dv}{dt}\\\\a=\dfrac{d}{dt}~t^2-6t+8\\\\a=2t-6$

Igualando essa equação a zero, temos

$2t-6=0\\\\2t=6\\\\t=\dfrac{6}{2}\\\\t=3s$

Posição:

$x(3)=3^3-9~.~3^2+24~.~t-8\\\\x(3)=27-9~.~9+24~.~3-8\\\\x(3)=27-81+72-8\\\\x(3)=99-89\\\\x(3)=10~mm$

A distância total percorrida é igual à área sobre o gráfico de velocidade e pode ser obtida através de integral.

$d_{total}=\int\limits^3_0 {(t^2-6t+8)}~dt \\\\d_{total}=\dfrac{t^3}{3}-6~.~\dfrac{t^2}{2}+8~.~t |_0^3\\\\d_{total}=\dfrac{3^3}{3}-6~.~\dfrac{3^2}{2}+8~.~3\\\\d_{total}=\dfrac{27}{3}-6~.~\dfrac{9}{2}+24\\\\d_{total}=9-27+24\\\\d_{total}=6~mm$

• Para saber mais

brainly.com.br/tarefa/2605904

brainly.com.br/tarefa/9364375

brainly.com.br/tarefa/3900523