Question

Álgebra Linear

Determine o núcleo e a imagem dessa transformação linear e suas dimensões.

T : R³ ---> R³, T(x,y,z)=( x -y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z )

Answer 1

Núcleo

T(x,y,z)=( x -y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z ) =(0,0,0)

x-y-2z=0  ==>3z-y-2z=0 ==>y=z

-x+2y+z=0  

x-3z=0 ==>x=3z

N(T)={(3z,z,z)} = [(3,1,1)]

dim R³ = 1

Imagem

( x -y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z ) =x*(1,-1,1)+y*(-1,2,0)+z*(-2,1,-3)

(1,-1,1) ; (-1,2,0);(-2  , 1 ,  -3 )

1   -1     1

-1   2    0

-2   1   -3  ..det=0  é LD

L2=L2+L1

L3=L3+2L1

1   -1     1

0   1     1

0   -1   -1

Observe >>L3=(-1)* L2 ,  temos que tirar um vetor que é combinação linear dos outros dois ..tirei (-2 ,  1  , -3 )

Im(T) =[(1,-1,1) ; (-1,2,0)]

dim R³ = 2