Question

Sendo lū, v, w| = 6, calcule [2ū - 3v + w, -ū +v - w, v - 3w]​

Answer 1

Vamos denotar o produto misto de três vetores u,v,w por

[u,v,w] = u·(vxw)

Como usual, x denota o produto vetorial e o · produto escalar.

Lembramos que ambos produtos são bilineares, ou seja:

(u + λv)·w = u·w + λ(v·w)

u·(v + λw) = u·v + λ(u·w)

(u + λv) x w = (u x w) + λ(v x w)

u x (v + λw) = (u x v) + λ(u x w)

Assim, considere a função:

f(u,v,w) = [u,v,w]

Usando as propriedades acima podemos provar que

f(u₁ + λu₂, v, w)= f(u₁,v,w) + λ f(u₂,v,w)

f(u, v₁ + λv₂, w)= f(u,v₁,w) + λ f(u,v₂,w)

f(u, v, w₁ + λw₂)= f(u,v,w₁) + λ f(u,v,w₂)

Isso mostra que f é linear em cada entrada. Na prática isso quer dizer que você pode usar "chuveirinho" ao multiplicar produtos mistos. Intuitivamente, calcular o produto misto

[2u - 3v + w, -u +v - w, v - 3w]

funciona de maneira similar a calcular um produto da forma:

(2x - 3y + z)(-x + y - z)(y - 3z) =  

= -3y³+3z² - 2x²y + 5xy² + 6x²z + 9xz² + 13y²z - 13yz² - 18xyz

Porém no produto misto temos um grande facilitador: ele é anti-simétrico. Isso significa que se trocarmos 2 vetores de posição, o sinal muda. Por exemplo, [u,v,w] = -[v,u,w]. Além disso, se temos dois vetores iguais, o produto misto é zero. Ou seja, [u,v,w] = 0 se u = v ou u = w ou v = w.

Pensando no exemplo de multiplicação de polinômios acima, é como se não tivéssemos que nos preocupar com termos da forma x²y ou y³. Mas em troca desse facilitador, temos que ter atenção com a ordem, ela importa. Ou seja, [u,v,w] nao é o mesmo que [v,u,w]. Assim, teremos:

[2u - 3v + w, -u +v - w, v - 3w] =

2*1*(-3)[ u,v,w] + 2*(-1)*1 [ u,w,v] -3*(-1)*(-3) [v,u,w]  + 1*(-1)*1 [w,u,v]

[2u - 3v + w, -u +v - w, v - 3w] =

-6 [ u,v,w] -2 [ u,w,v] -9 [v,u,w]  - [w,u,v]

Pela anti-simetria temos

[ u,v,w] = - [u,w,v]  = -[v,u,w] = [w,u,v]

Portanto

[2u - 3v + w, -u +v - w, v - 3w] = (-6 + 2 + 9 - 1) [ u,w,v]  = 4[u,v,w] = 24

Obs.: Também podemos resolver empregando propriedades do determinantes, pois no fundo o produto misto é um determinante.

Resposta:

[2u - 3v + w, -u +v - w, v - 3w] = 24