Question

Escreva o valor de m para que os pontos A, B, F estejam alinhados, conhecendo os pontos A(-3; 7), B(m, m) e F(3; -2).
Utilize os pontos da questão 7 e escreva o valor da distância entre os pontos A e F

Answer 1

Resposta:

m = 1

distância: 3√13

Explicação passo-a-passo:

Uma das formas de se calcular a área de um triângulo é pela fórmula:

$A = \frac{\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right] }{2}$

A metade do determinante desta matriz é a área do triângulo. Quando nós temos 3 pontos, podemos formar um triângulo com eles. Somente com uma exceção: se eles estiverem alinhados. Por isso, para se descobrir se 3 pontos são colineares, nós verificamos o determinante daquela matriz: Caso seja um número diferente de 0, eles não estão alinhados. Se o determinante for 0, é por quê a área do triângulo é 0, ou seja, o triângulo não existe, portanto, são 3 pontos alinhados. Vamos fazer isso:

$\left[\begin{array}{ccc}-3&7&1\\m&m&1\\3&-2&1\end{array}\right]$

Se você não sabe ou não se lembra como encontrar determinantes de matrizes 3x3, sugiro pesquisar melhor do assunto. Multiplicamos os elementos em diagonal, somamos as 3 respostas e depois subtraímos pela soma das multiplicações dos elementos, na diagonal no caminho contrário.

-3 * m * 1 = -3m

7 * 1 * 3 = 21

m * -2 * 1 = -2m

Soma: -3m + (-2m) + 21 = -5m + 21

1 * m * 3 = 3m

7 * m * 1 = 7m

-3 * -2 * 1 = 6

Soma: 3m + 7m + 6 = 10m + 6$d = \sqrt{36*81}$

Subtraímos as duas somas agora. Este valor deveria igualar a 0 para que estejam alinhados.

-5m + 21 - (+ 10m + 6) = 0

-5m + 21 - 10m - 6 = 0

-15m + 15 = 0

-15m = -15

15m = 15

m = 1

Portanto, os pontos A; B e F só estarão alinhados se m = 1.

Agora a distância do ponto A ao F é um pitágoras diferenciado. Veja:

$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$

Substituindo pelos valores conhecidos temos:

$d = \sqrt{(3-(-3)^2+(-2-7)^2}$

$d = \sqrt{6^2+(-9)^2}$

$d = \sqrt{36+81}$

$d = \sqrt{117}$

Fatorando a raíz temos:

$d = 3\sqrt{13}$