Question

calcular x sabendo que a(x,1,1), b(1,-1,0) e c(2,1,-1) são vértices de um triangulo de área raiz de 29/2

Answer 1

Para calcular a área do triângulo no R³ utilizaremos a fórmula:

$S = \frac{1}{2}.|BA.BC|$

O vetor BA é BA = (x - 1, 2, 1) e o vetor BC é BC = (1, 2, -1).

Calculando o produto vetorial BA.BC:

               |i          j         k|
BA.BC = |x-1     2        1|
               |1        2       -1|

BA.BC = -4i - j(-x) + k(2x - 4) = (-4, x, 2x - 4)

Calculando a norma de BA.BC:

$|BA.BC| = \sqrt{(-4)^2+x^2+(2x-4)^2}$
$|BA.BC| = \sqrt{16+x^2+4x^2-16x+16}$
$|BA.BC| = \sqrt{5x^2-16x+32}$

Logo,

$\frac{\sqrt{29}}{2} = \frac{\sqrt{5x^2-16x+32}}{2}$
29 = 5x² - 16x + 32
5x² - 16x + 3 = 0

Pela fórmula de Bháskara:

Δ = (-16)² - 4.5.3
Δ = 256 - 60
Δ = 196

$x = \frac{16+- \sqrt{196} }{2.5}$
$x = \frac{16+-14}{10}$

Portanto, os valores de x são:

$x' = \frac{16+14}{10} = 3$

ou

$x''= \frac{16-14}{10} = \frac{1}{5}$