Question

Resolva a inequação produto:


A) 2x(3x+1).(-x+2)≤0


passo a passo por favor.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá. Para resolver uma inequação produto temos que fazer o estudo de sinais em todos os seus fatores (partes que se multiplicam) para entender o que acontece com ela quando todos esses fatores estão juntos.

Para isso, vamos procurar as raízes de cada fator. Depois Colocá-los em numa reta numérica e então verificar que sinais os fatores apresentam para os valores de x.

2x = 0

x = 0

3x +1 = 0

x = -1/3

-x +2 = 0

x = 2

Para fazer o estudo de sinais testamos valores quaisquer de x que estejam antes e depois da raiz de cada fator. Na raiz já sabemos que o fator será igual a zero, pois raiz é zero da função.

Ex.:

Se em 3x+1 a raiz é -1/3, significa que se substituirmos -1/3 no x dará zero, porque -1/3 é "zero" da equação (ou "raiz" da equação).

para x = (-1/3) ===> 3(-1/3)+1 = -1 +1 = 0  ===> dá zero

Subtituimos agora um valor qualquer, maior que a raiz, e depois um outro que seja menor que a raiz.

para x >(-1/3), ex.: x = 2 ===>  3(2)+1 = 6 +1 = 7 ===> dá valor positivo

para x < (-1/3), ex.: x = -4 ===> 3(-4)+1 = -12 +1 = -11 ===> dá valor negativo

Fazemos o estudo com todos os fatores, depois com a expressão inteira. Por fim, verificamos a inequação, que neste exercício é menor ou igual a zero.

Através da imagem abaixo podemos verificar que a inequação menor ou igual a zero quando os valores de x se encontram entre -1/3 e 0, inclusive, e maior que 2, inclusive. Ao incluirmos os valores das raízes temos que colocar o sinal de igual junto aos sinais de maior ou menor. Se eles não forem complementados com o sinal de igual isso significa dizermos que as raízes não estarão no conjunto solução. Atenção.

Solução:

S = {x∈R | -1/3 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2}

ou então, de outra forma (cuidado com os sinais que fecham os intervalos):

S = [-1/3, 0] U {2, ∞)

Por curiosidade, segue uma segunda imagem com o gráfico da  função inequação. Lá você pode ver que a resposta calculada numericamente confere exatamente com os valores no gráfico da função.

Abraços.