Question

(Geometria) Uma dobra é feita no retângulo 10cmx2cm... (o resto está no anexo)

Gabarito: d)35/2

Answer 1

A área do polígono APQCBRD (Ax) é igual à área do retângulo ABCD (A1) menos a área do triângulo PQR (A2):
Ax = A1 - A2 [1]

A1 = 2 cm × 10 cm
A1 = 20 cm²

Cálculo da área do triângulo PQR (A2):
- A altura relativa ao lado QR é igual a 2 cm, pois é a altura do retângulo ABCD;
- A altura relativa ao lado PR é igual a 2 cm, pois é a altura do retângulo ABCD;
- Então, o triângulo PQR é isósceles e o lado PQ é a sua base;
- Se obtivermos a medida do lado QR ou do lado PR, poderemos obter a área do triângulo (A2), pois conhecemos a sua altura. Para isto:

- Vamos considerar o trapézio APQD e, pelo ponto P, vamos traçar uma perpendicular ao lado DQ, obtendo nele o ponto M. Assim, APMD é um retângulo, AP = DM e, então,
MQ = DQ - AP
MQ = 5 cm - 4 cm
MQ = 1 cm

Como PMQ é um triângulo retângulo em M, com catetos conhecidos 
PM = 2 cm
MQ = 1 cm, podemos obter o valor do ângulo MQP, aplicando a função trigonométrica tangente:
tg MQP = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg MQP = MP ÷ MQ
tg MQP = 2 ÷ 1
tg MQP = 2
ângulo MQP = 63,43º = ângulo RQP [2]

A base do triângulo PQR (PQ) também é hipotenusa do triângulo retângulo PQM e, aplicando o Teorema de Pitágoras a este triângulo (PQM), temos:
PQ² = PM² + MQ²
PQ² = 2² + 1²
PQ² = 5
PQ = √5
PQ = 2,236 cm

Vamos agora pelo ponto R traçar uma perpendicular ao lado PQ do triângulo PQR, obtendo na base PQ o ponto N, que divide a base em duas partes iguais:
PN = NQ = 2,236 ÷ 2
PN = NQ = 1,118 cm [3]
Assim, temos no triângulo retângulo RNQ conhecidos o ângulo RQN que é igual ao ângulo RQP obtido em [2] (63,43º), o ângulo RNQ que é reto (90º) e o cateto NQ, obtido em [3] (1,118 cm).
A medida do lado RQ deste triângulo, que é o valor que estamos procurando para obter a área do triângulo RQP (A2) pode ser então obtido se aplicarmos a função trigonométrica cosseno do ângulo RQN:
cos RQN = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 63,43º = NQ ÷ RQ
RQ = NQ ÷ cos 63,43º
RQ = 1,118 cm ÷ 0,447
RQ = 2,50 cm

Finalmente, a área do triângulo PQR (A2) é igual a:
A2 = RQ × PM ÷ 2
A2 = 2,50 cm × 2 cm ÷ 2
A2 = 2,50 cm²

Como vimos lá no início, a área do polígono APQCBRD (Ax) é igual a:
Ax = A1 - A2
Ax = 20,00 cm² - 2,50 cm²
Ax = 17,50 cm², área do polígono APQCBRD
Alternativa correta letra (D), pois 35/2 = 17,5

Obs.: Se ainda estiver dentro do prazo que você tinha para apresentar a solução, beleza. Se não estiver mais, pelo menos você tem a resposta. Este não foi fácil resolver...