Question

Obtenha os valores de m e n para que o polinômio P(x)=x^4-mx^3+nx^2-mx+12 seja divisível por x-1 e por x-2.

Answer 1

Os valores de m e n para que o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 seja divisível por x - 1 e por x - 2 são, respectivamente, iguais a -12 e -37.

Se o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 é divisível por x - 1, então x = 1 é uma raiz, ou seja:

p(1) = 0

1⁴ - m.1³ + n.1² - m.1 + 12 = 0

1 - m + n - m + 12 = 0

-2m + n = -13.

Se o polinômio p(x) = x⁴ - mx³ + nx² - mx + 12 é divisível por x - 2, então x = 2 é uma raiz, ou seja:

p(2) = 0

2⁴ - m.2³ + n.2² - m.2 + 12 = 0

16 - 8m + 4n - 2m + 12 = 0

-10m + 4n = -28

-5m + 2n = -14.

Da equação -2m + n = -13, podemos dizer que n = 2m - 13.

Então:

-5m + 2(2m - 13) = -14

-5m + 4m - 26 = -14

-m = 12

m = -12.

Consequentemente:

n = 2.(-12) - 13

n = -24 - 13

n = -37.