Question

O conjunto solução da equação é :

(n+1)!-n!/(n-1)! =8n

Resolução pfvr!

Answer 1

Resposta:

S = {n ∈ |R  |  n = 8}

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para começarmos a resolver esse exercício, temos que saber o que é fatorial.

Fatorial de um número natural n é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.

Agora que sabemos disso, vamos simplificar a expressão.

$\dfrac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=8n\\\\\\\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!-n\cdot(n-1)!}{(n-1)!}=8n$

Colocando (n-1)! em evidência, obtemos:

$\dfrac{(n-1)![(n+1)\cdot n-n ]}{(n-1)!}=8n\\\\\\(n+1)\cdot n-n=8n\\\\n^2+n-n=8n\\\\n^2=8n\\\\n^2-8n=0\\\\n(n-8)=0\\\\\boxed{n=0}~~ou~~n-8=0~\rightarrow~\boxed{n=8}$

Vamos analisar nossos resultados.

Se trocarmos n por 0 na expressão inicial, temos:

$\dfrac{(0+1)!-0!}{(0-1)!}=8\cdot0~~\longrightarrow~~\dfrac{1!-0!}{(-1)!}=0$

No denominador da fração, temos (-1)!, o que não pode acontecer, já que n tem que ser um número natural. Logo, n=0 não é uma solução para essa equação.

Trocando n por 8:

$\dfrac{(8+1)!-8!}{(8-1)!}=8\cdot8\\\\\\\dfrac{9!-8!}{7!}=64\\\\\\\dfrac{9\cdot8\cdot7!-8\cdot7!}{7!}=64\\\\\\\dfrac{7!(9\cdot8-8)}{7!}=64\\\\\\9\cdot8-8=64\\\\\\72-8=64\\\\\\64=64$

Então, n=8 satisfaz a equação.

Portanto, o conjunto solução é:

S = {n ∈ |R  |  n = 8}

Saiba mais em:

1. O que é fatorial: https://brainly.com.br/tarefa/22492944

2. Exercício de fatorial: https://brainly.com.br/tarefa/1205190

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️