Question

Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.

Answer 1

Antes de tudo, venho informar que nesta resolução faremos uso das quatro identidades trigonométricas abaixo:

$\mathsf{(i)\ \ tg(\theta)=\dfrac{sen(\theta)}{cos(\theta)}\,,\,\forall\,\theta\,\in\,\mathbb{R}\setminus\bigg\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\bigg\}}\\\\\\ \mathsf{(ii)\ \ cotg(\theta)=\dfrac{cos(\theta)}{sen(\theta)}\,,\,\forall\,\theta\,\in\,\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\right\}}\\\\\\ \mathsf{(iii)\ \ sen^2(\theta)+cos^2(\theta)=1,\,\forall\,\theta\,\in\,\mathbb{R}}\\\\\\ \mathsf{(iv)\ \ sen(2\theta)=2\,sen(\theta)cos(\theta),\,\forall\,\theta\,\in\,\mathbb{R}}$

Tendo em mente todas as informações acima, daremos início agora ao desenvolvimento do exercício. Já sabemos pelo próprio enunciado que seu objetivo é encontrar o valor de sen(2x). Para isso, ele nos fornece a seguinte igualdade:

$\mathsf{tg(x)+cotg(x)=3}$

Agora, a fim de manipular despreocupadamente a equação acima, vamos analisar as Condições de Existência (C.E.) (domínio) da expressão (função) trigonométrica situada em seu primeiro membro:

$\mathsf{\qquad\ \ \ \:\, \exists\,\big[tg(x)+cotg(x)\big]}\\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \exists\, tg(x)\: \land\ \exists\, cotg(x)}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ x\neq\dfrac{\pi}{2}+k_{1}\pi\ \land \ x\neq k_{2}\pi\quad\big(k_{1},\,k_{2}\,\in\,\mathbb{Z}\big)}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ x\neq\dfrac{k\pi}{2},\,k\,\in\,\mathbb{Z}}$

Sendo assim, partindo de tg(x) + cotg(x) = 3 e considerando x ≠ kπ/2 (k ∈ Z), vamos à obtenção de sen(2x):

$\mathsf{\qquad\ \ \ \ \, tg(x)+cotg(x)=3}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \dfrac{sen(x)}{cos(x)}+\dfrac{cos(x)}{sen(x)}=3}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \dfrac{sen^2(x)}{sen(x)cos(x)}+\dfrac{cos^2(x)}{sen(x)cos(x)}=3}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{sen^2(x)+cos^2(x)}}^{1}}{sen(x)cos(x)}=3}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \dfrac{1}{sen(x)cos(x)}=3}\\\\\\ \mathsf{\iff\ \ \underbrace{\mathsf{sen(x)cos(x)}}_{sen(2x)/2}=\dfrac{1}{3}}\\\\\\ {\iff\ \ \boxed{\mathsf{sen(2x)=\dfrac{2}{3}}}$

Um grande abraço!