Question

Se x e y são dois arcos complementares, calcule A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2

Answer 1

Primeiramente, venho dizer que nesta resolução utilizaremos as duas identidades algébricas abaixo:

$\mathsf{\bullet\ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\\\\ \mathsf{\bullet\ \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

, válidas para todo a e b complexos. Também faremos uso das duas seguintes identidades trigonométricas:

$\mathsf{\bullet\ \ sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1}\\\\ \mathsf{\bullet\ \ cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)}$

, válidas para quaisquer α e β reais. Sabe-se do próprio enunciado que x e y são arcos complementares, o que acarreta:

$\mathsf{\qquad\quad\, \ \ x+y=\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad cos(x+y)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad cos(x+y)=0}$

Portanto, a expressão A (fornecida pelo enunciado) torna-se:

$\mathsf{A=[cos(x)-cos(y)]^2+[sen(x)+sen(y)]^2}\\\\ \mathsf{\quad =cos^2(x)-2cos(x)cos(y)+cos^2(y)+sen^2(x)+2sen(x)sen(y)+sen^2(y)}\\\\ \mathsf{\quad=\underbrace{\mathsf{sen^2(x)+cos^2(x)}}_{1}+\underbrace{\mathsf{sen^2(y)+cos^2(y)}}_{1}+\,2sen(x)sen(y)-2cos(x)cos(y)}\\\\\\ \mathsf{\quad=1+1-2\underbrace{\mathsf{[cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y)]}}_{cos(x+y)}}\\\\ \mathsf{\quad =2-2\underbrace{\mathsf{cos(x+y)}}_{=\:0}}\\\\ \mathsf{\quad= 2-2\cdot 0}\\\\ \mathsf{\quad = 2}$

O que equivale a escrever:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\mathsf{A=2}\end{array}}}}$

Um grande abraço!