Question

Prove que n² + 1 não é divisível por 3 qualquer que seja o inteiro n.

Answer 1

n = 3k:
9k² + 1 (mod 3) = 1
n = 3k + 1:
9k² + 6k + 2 (mod 3) = 2
n = 3k - 1:
9k² - 6k + 2 (mod 3) = 2

Em nenhum dos 3 casos o resto da divisão é 0, o que prova que n² + 1 não é divisível por 3 qualquer que seja o inteiro n.
Espero ter ajudado!!

Answer 2

Com a contextualização da divisibilidade por 3, foi provado que o número n² + 1 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 3.

Um número é divisível por 3 se a soma de todos os seus algarismos for divisível por 3.

Demonstração: É muito semelhante a como se prova a regra de divisibilidade para 9 . Para isso, usamos a base aritmética modular 3. Qualquer número N pode ser visto como a soma:

$N= \displaystyle\sum _{i=0}^{\infty } \displaystyle\left(n_i10^{^i}\right)$

onde $n_i$ é o $i^{th}$ dígito da representação de base 10 de N , contando da direita a partir de 0 ($n_0$ é o dígito 1, $n_1$ é o dígito 10, etc.). Desde 10≡1(mod3), temos:

$N\equiv \displaystyle\left(\sum _{i=0}^{\infty }\left(n_i10^{^i}\right)\right)\left(mod\:3\right)$

$N \displaystyle\equiv \left(\sum _{i=0}^{\infty }\left(n_i\left(\left(10^{^i}\:mod\:3\right)\right)\right)\right)$

$N \displaystyle\equiv \sum _{i=0}^{\infty }\left(n_i\right)\left(mod\:3\right)$

Em outras palavras, N é divisível por 3 se e somente se a soma de seus dígitos de base 10 for divisível por 3. Sendo assim vamos dividir em dois casos

$\begin{cases}n=2k&\\ n=2k+1&\end{cases}$

1° caso n = 2k

4k² + 1 o que claramente não é um número divisível por 3, pois todo número divisível por 3 é da forma 3k.

2° caso n = 2k + 1

(2k + 1)² + 1 = 4k² + 4k + 1 + 1 = 4k² + 4k + 2 = 2(2k² + 2k +1) o que claramente não é um número divisível por 3, pois aqui temos um número que múltiplo de 2.

Saiba mais sobre divisibilidade:https://brainly.com.br/tarefa/21954851

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