Question

Calcule o limite de $\lim_{x \to \\ \pi/6 } } \frac{2 sen^{2}x + senx - 1 }{2sen^{2} - 3 senx +1 }$

Answer 1

Esse tipo de limite é o mesmo da tradicional indeterminação 0/0 obtido em quocientes de polinômios. Daí podemos fatorar o numerador. Para ficar mais fácil de ver, vamos fazer a mudança de variável y = sen(x):

$L= \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi 6} \, \dfrac{ 2 \sin^2 x + \sin x- 1}{ 2 \sin^2x - 3 \sin x + 1} = \lim_{y \to \frac 12} \, \dfrac{2y^2 + y - 1}{2y^2 - 3y+ 1}$

Observe que sen(π/6) = 1/2, logo y tende  a 1/2. Fatorando o numerador e o denominador:

2y² + y - 1 = (2y - 1)(y + 1)

2y² - 3y + 1 = (2y - 1)(y - 1)

Logo:

$L = \displaystyle \lim_{y \to \frac 12} \, \dfrac {(2y -1)(y+1)}{(2y-1)(y-1)} = \lim_{y \to \frac 12} \, \dfrac {y+1}{y-1} \implies \boxed{L = -3}$

Assim, o limite procurado é -3

Resposta:

-3