Question

lim x --> 0 de (secx)^(1/x³)

Answer 1

Oi Rebeca, tudo bem?

Primeiro devemos escrever a secante em termos do cosseno e, por questões de comodidade, suprimir as frações.

$\mathsf{\lim_{x \to 0}[(sec~x)\frac{1}{x^3}]}}}\Leftrightarrow\\\\\mathsf{\lim_{x\to 0}\left[\left(\dfrac{1}{cos~x}\right)^\frac{1}{x^3}\right]}}\Leftrightarrow\\\\\\\mathsf{\lim_{x\to 0}[(({cos~x)^{-1})^{x^{-3}}}]} \Leftrightarrow\\\\\\\mathsf{\lim_{x\to 0}[({cos~x)^{-x^{-3}}}]}$

Em seguida, reescrevemos a função do limite como a identidade obtida pela exponencial e a sua inversa e depois aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência.

$\mathsf{\lim_{x\to 0}[e^{ln({cos~x)^{-x^{-3}}}}]}\Leftrightarrow\\\\\\\mathsf{\lim_{x\to 0}[e^{-x^{-3}.ln({cos~x)}}}]}$

Para facilitar a visualização:

$\Large{\boxed{\mathsf{\lim_{x\to 0}\left[e^\frac{ln({cos~x)}}{-x^3}}\right]}}}$

Que podemos reescrever como:

$\Large\boxed{\mathsf{e^{\lim_{x\to 0}\left[-\frac{ln({cos~x)}}{x^3}}\right]}}}$

Facilmente percebemos uma indeterminação do tipo "0/0". Pela regra de L'Hôpital, esse limite é igual à razão das derivadas de ambos o numerador e o denominador. Trabalhando apenas na função abrangida pelo limite, temos:

$\mathsf{ \lim_{x \to 0}\left[ \dfrac{-ln({cos~x)}'}{x^3'} \right] \Leftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\lim_{x \to 0}\left[ \dfrac{-1}{3.(cos~x)}\cdot\dfrac{-sen~x}{x^2}}\right]\Leftrightarrow}\\\\\\\mathsf{lim_{x\to0}\left[\dfrac{1}{3.(cos~x)}\right] \cdot \underbrace{\lim_{x\to0}\left[\mathsf{\dfrac{(sen~x)}{x^2}} \right]}_{\text{L'H\^opital novamente}}\Leftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{3}\cdot \left[lim_{x\to0}\dfrac{(cos~x)}{2.x}}\right] \Leftrightarrow$

$\mathsf{\dfrac{1}{6}\cdot \left[lim_{x\to0}\dfrac{(cos~x)}{x}}\right]}$

Obs: lembre-se de que tudo isso está no expoente do número de Euler.

A partir desse ponto, não há muito o que se fazer, pois o limite quando x tende a 0 diverge. Mas observe que podemos separar o limite quando x tende a 0 pela direita e outro limite quando x tende a 0 pela esquerda.

$\begin{cases}\mathsf{\mathsf{\dfrac{1}{6}\cdot \left[lim_{x\to0^+}\dfrac{(cos~x)}{x}}\right]}} =\mathsf{\mathsf{\dfrac{1}{6}\cdot \left[\dfrac{1}{0^+}\right]} = -\infty \Rightarrow e^{-\infty} = 0}\\\\\mathsf{\mathsf{\dfrac{1}{6}\cdot \left[lim_{x\to0^-}\dfrac{(cos~x)}{x}}\right]}} =\mathsf{\mathsf{\dfrac{1}{6}\cdot \left[\dfrac{1}{0^-}\right]} = +\infty \Rightarrow e^{\infty} = \infty}\end{cases}$

Ou seja, quando x tende a 0 por valores maiores que 0, o limite vale:

$\Large{\boxed{\mathsf{ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} (sec~x)^{\frac{1}{x^3}} = +\infty}}}$

E quando x tende a 0 por valores menores que 0, o limite é igual a:

$\Large{\boxed{\mathsf{ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} (sec~x)^{\frac{1}{x^3}} = 0}}}$

De fato, ao observarmos em uma calculadora gráfica os resultados condizem com a realidade.

Boa noite, espero ter esclarecido a sua dúvida.

Answer 2

Queremos calcular o limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0^-} \, \left( \sec x\right)^{\displaystyle 1/x^3}$

sem L'Hopital. Vamos usar então os limites fundamentais do seno e da exponencial:

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \, \dfrac{ \sin x} x = 0 \implies \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ 1- \cos x}{x^2} = \dfrac 12$                ( I )

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \, \left( 1 + \dfrac 1x \right)^x = e \implies \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\ln (x + 1)}x = 1$     ( II )

Além disso, o logaritmo é uma função contínua. Portanto vale que

$\displaystyle \ln \left(\lim_{x \to a} f(x) \right) = \lim_{x \to a} \ln f(x)$    ( III )

mas precisamos que o limite de f esteja no intervalo [0, +∞] para isso fazer sentido. Note que se lim f(x) = 0, então obteremos lim (ln f(x)) = -∞, assim aceitaremos nesse caso o abuso da notação ao escrever ln 0 = -∞.

Usando essas ideias acima no problema, vamos reescrever de maneira conveniente. Como queremos o limite lateral à esquerda, teremos sempre x<0. E para x próximo de 0 a função é positiva. Logo podemos tomar o logaritmo:

$f(x) = (\sec x)^{\displaystyle 1 / x^3} \implies \ln f(x) = \dfrac 1{x^3} \ln \sec x = -\dfrac {\ln \cos x}{x^3}$

Logo

$\ln L = \displaystyle -\lim_{x \to 0^-} \, \dfrac{ \ln \cos x}{x^3}$

Para ficar mais fácil ver os limites fundamentais, vamos escrever cos(x) = 1+t (notamos que quando x tende a 0 pela esquerda, t aproxima de 0 também, e pela direita). Daí obtemos:

$\ln L = - \displaystyle \lim_{x \to 0^-} \, \dfrac{ \ln (1+t)}{x^3} = -\lim_{ x \to 0^-} \, \dfrac{ \ln (1+t)}{t}\cdot \dfrac{ t}{x^3} \\[3ex] \phantom{\ln L} = -\lim_{t \to 0^+} \, \dfrac{ \ln (1+t)}t \lim_{x \to 0^-} \, \dfrac{ \cos x - 1}{x^2}\cdot \dfrac 1 x$

Note que o primeiro limite é 1 por ( II ) e no segundo limite teremos +∞ por ( I ), já que a primeira fração se aproxima de -1/2 e a segunda de -∞. Ou seja, por ( III ) concluímos que ln L = -∞ ⇒ L = 0.

Resposta:

O limite procurado é 0.

Obs.: A partir disso podemos concluir que o outro limite lateral é +∞. Pois para essa função vale que f(x) = f(-x)⁻¹ e f é positiva. Logo:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \, ( \sec x)^{\displaystyle 1/x^3} = \lim_{ x \to 0^-} \, \dfrac{1}{( \sec x)^{\displaystyle 1/x^3}}$