Question

O Polinômio P(x) = (2x + 1) (2x + 1)² (2x + 1)³ ........ (2x + 1)¹⁰⁰ é de grau:

a) 505
b) 5.050
c) 5.030
d) 5.020
e) 5.000

(Com cálculos por favor, obrigado)

Answer 1

$P(x) = (2x + 1) (2x + 1)^2 (2x + 1)^3 ........ (2x + 1)^{100}$

Propriedade de potência: Multiplicação de potências de mesma base, conserva a base e soma os expoentes.

Sendo assim, a multiplicação de $x* x^{2} * x^{3}$ , por exemplo, resulta em:
$x^{1+2+3} \to x^{6}$
Certo?!

Podemos fazer esse cálculo através da soma de termos de uma PA, pois:

$P(x) = (2x + 1) (2x + 1)^2 (2x + 1)^3 ........ (2x + 1)^{100}\\\\ P(x) = (2x + 1) (2x + 1)^2 (2x + 1)^3 ........ (2x + 1)^{98}(2x + 1)^{99}(2x + 1)^{100}$

Perceba que os expoentes acabam formando uma PA de razão 1, ou seja, um expoente somado a 1, resulta no próximo expoente.

Então podemos dizer que essa PA desses expoentes é:

PA(1, 2, 3, ..., 98, 99, 100)

Em que:

$a_1=1\\ r=1\\ n=100\\ a_n=100$

Jogando na fórmula de soma de termos encontraremos:

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \to \\\\S_n= \frac{(1+100)*100}{2} \to \\\\S_n= \frac{101*100}{2} \to \\\\S_n= \frac{10.100}{2} \to \\\\S_n=5.050$

Então esse polinômio será de grau 5.050, $(2x+1)^{5050}$



Resposta Correta, Letra B) 5.050