Question

Calcule $\lim_{x \to \\ pi/2 } (\pi - 2x) tgx$

Answer 1

Queremos calcular o limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi 2} \, (\pi-2x) \tan x$

Que é uma indeterminação do tipo 0 × ∞. A ideia é usar o limite fundamental do seno:

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \, \dfrac{ \sin x} x = 1$ ( I )

Para torná-lo mais evidente, primeiro observamos que tan(α) = sen(α)/cos(α). Além disso, em ( I ) temos x tendendo a 0. Assim, vamos fazer a mudança de variável y = π/2 - x. Logo 2y = π - 2x e portanto

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, 2y \, \tan\left( \dfrac{\pi}2-y \right) = \lim_{y \to 0} \, 2y \, \dfrac{ \sin ( \frac \pi 2 - y)}{ \cos( \frac \pi 2 - y)}$

Como sen(π/2 - α) = cos(α) e cos(π/2 - α) =  sen(α) e usando ( I ) concluímos

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \,\, 2y \,\dfrac {\cos y}{ \sin y} = \lim_{y \to 0}2 \cdot \dfrac {y}{ \sin y} \cdot \cos y \implies \boxed{ L =2}$

Resposta:

L = 2

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