Question

Determine a área ocupada pelas curvas.
Imagens em anexo.

Answer 1

1)

$\mathtt{\int\limits_{-2}^{1}(3-{x}^{2}-x-1)dx}\\=\mathtt{\int\limits_{-2}^{1}(2-x-{x}^{2})dx}$

$\mathtt{2x-\dfrac{1}{2}{x}^{2}-\dfrac{1}{3}{x}^{3}\huge\big|_{-2}^{1}}$

$\mathtt{2.(1)-\dfrac{1}{2}.}{{1}^{2}-\dfrac{1}{3}.{1}^{3}} \\\mathtt{-[2.(-2)-\dfrac{1}{2}{(-2)}^{2}-\dfrac{1}{3}{(-2)}^{3}]}$

$\mathtt{2- \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+4+2-\dfrac{8}{3}} \\\mathtt{ \frac{12 - 3 - 2 + 24 + 12 - 16}{6} = \dfrac{9}{2} u. a}$

2)

Vamos dividir a figura em duas regiões:

1ª x variando de 0 a 1

2ª x variando de 1 a 2.

A área região será a soma das duas regiões

$\mathtt{A_{1}=\int\limits_{0}^{1}(1+{x}^{2})dx} =\mathtt{x + \frac{1}{3} {x}^{3}\big|_{0}^{1} }$

$\mathtt{A_{1}=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3} \: u.a}$

$\mathtt{A_{2}=\int\limits_{1}^{2}(4-2x)dx} = \mathtt{4x- {x}^{2}\big|_{1}^{2}}$

$\mathtt{A_{2}=4.2-{2}^{2}-(4.1-{1}^{2}}) \\\mathtt{A_{2} = 8 - 4 - 4 + 1 = 1 u.a}$

$\mathtt{A_{R}=A_{1}+A_{2}}\\\mathtt{A_{R}=\dfrac{4}{3}+1}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathtt{A_{R}=\dfrac{7}{3}~u.a}}}$

3) Essa questão pode ser resolvida com geometria elementar e com auxílio da integral de Riemann. Vou resolver das duas formas.

Por geometria elementar:

Perceba que a 1ª região é um trapézio de base maior 2, base menor 1 e altura 1. Calculando está área temos:

$\mathtt{A_{1}=\dfrac{(2+1).1}{2}=\dfrac{3}{2}~u.a}$

Note que a 2ª região é um trapézio de base maior $\frac{3}{2}$ base menor 1 e altura 1.

Calculando esta área temos:

$\mathtt{A_{2}=\dfrac{(\frac{3}{2}+1).1}{2}=\dfrac{\frac{5}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}~u.a}$

A area total da figura é calculada somando-se as duas regiões.

$\mathtt{A_{t}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6+5}{4}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathtt{A_{t}=\dfrac{11}{4}~u.a}}}$

Pela integral de Riemann:

A área total será a soma das regiões onde x varia de 1 a 2 com a região onde x varia de 2 a 3.

$\mathtt{A_{1}=\int\limits_{1}^{2}(3-x)dx}=\mathtt{3x-\dfrac{1}{2}{x}^{2}\big|_{1}^{2}}$

$\mathtt{A_{1}=3.2-\dfrac{1}{2}.{2}^{2}-(3.1-\dfrac{1}{2}.{1}^{2})}\\\mathtt{A_{1}=6-2-3+\dfrac{1}{2}}\\\mathtt{A_{1}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \: u.a}$

$\mathtt{A_{2}=\int\limits_{2}^{3}\dfrac{1}{2}xdx} = \mathtt{ \dfrac{1}{4} {x}^{2} \big|_{2}^{3}}$

$\mathtt{A_{2}=\dfrac{1}{4}({3}^{2}-{2}^{2})=\dfrac{5}{4} \: u.a}$

$\mathtt{A_{t}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6+5}{4}=\dfrac{11}{4}}$