Question

Recompensa: 70 pontos.

Gincana da noite

I) Calcule o limite:

$\boxed{ \lim_{x \rightarrow \: 2} \frac{x {}^{2} + x - 6}{x {}^{2} - x - 2 } }$
Boa sorte :v (◕ᴗ◕✿)​

Answer 1

5/3

Explicação passo-a-passo:

$\lim_{x \rightarrow \: 2} \frac{x {}^{2} + x - 6}{x {}^{2} - x - 2 } \\ \\ \lim_{x \rightarrow \: 2} \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ \\ \lim_{x \rightarrow \: 2} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}$

Answer 2

Oi! Resolveremos esse exercício sobre limites.

O objetivo do limite é representar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de um determinado valor.

Calcularemos o limite da função $f(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-2}$ , quando x tende a 2.

Bom, já que x tende a 2, seria muito simples apenas substituí-lo por esse número. Vamos ver o que acontece.

$\displaystyle\lim_{x\to 2} ~{\dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-2}} \\\\\\ \lim_{x \to 2} ~{\dfrac{2^2+2-6}{2^2-2-2}} \\\\\\\lim_{x \to 2} ~{\dfrac{4-4}{4-4}}\\\\\\\lim_{x \to 2} ~{\dfrac{0}{0}}$

Observe que chegamos a uma indeterminação. Porém, podemos aplicar regras de fatoração para eliminá-la.

Tanto o numerador ($x^2+x-6$), quanto o denominador ($x^2-x-2$) são funções do segundo grau. Podemos fatorá-las, lembrando que:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, onde $x_1$ e $x_2$ são as raízes da equação.

Para acharmos as raízes utilizaremos as Relações de Girard para equações do segundo grau. A soma das raízes vale $-\frac{b}{a}$  e o produto delas vale  $\frac{c}{a}$.

Numerador

$x^2+x-6\\\\\\S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{1}=-6$

Logo, $x_1=-3$  e  $x_2=2$.

$\boxed{x^2+x-6=(x+3)(x-2)}$

Denominador

$x^2-x-2\\\\\\S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-1}{1}=1\\\\\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2$

Logo, $x_1=-1$  e  $x_2=2$

$\boxed{x^2-x-2=(x+1)(x-2)}$

Agora, vamos substituir as informações que nós achamos no cálculo inicial do limite.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}} ~{\dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-2}} \\\\\\ \lim_{x \to 2} ~{\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+1)(x-2)}} \\\\\\\lim_{x \to 2} ~{\dfrac{x+3}{x+1}}$

Note que eliminamos a indeterminação. Só precisamos substituir o x por 2.

$\displaystyle\lim_{x\to 2}~{\dfrac{x+3}{x+1}}\\\\\\\lim_{x \to 2} ~{\dfrac{2+3}{2+1}}\\\\\\\lim_{x \to 2} ~{\dfrac{5}{3}}$

Portanto, o limite vale 5/3.

Saiba mais em:

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Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️