Question

Sejam a,b e c raizes de x³-2x²-4x+1=0. Calcule a expressão: a²+b²+c²

Answer 1

Verifique que:

$(a+b+c)^2=a^2+2 a b+2 a c+b^2+2 b c+c^2=\\ \\(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)$

As relações de Girard são:

a)
(a+b+c) = -b/a
(a+b+c) = 2

b) ab + ac + bc = c/a
    ab + ac + bc = -4

Substituindo estes valores:

$(a+b+c)^2=a^2+2 a b+2 a c+b^2+2 b c+c^2=\\ \\(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc) \\ \\ 2^2=(a^2+b^2+c^2)+2.(-4) \\ \\ (a^2+b^2+c^2) =4+8 \\ \\ \boxed{a^2+b^2+c^2=12}$