Question

[Integral] Calcule a integral indefinida:

$\displaystyle\int \left[ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{ \displaystyle\sum_{k = 0}^{2018} (k + 1)x^k}{\displaystyle\sum_{k = 0}^{2019}x^k} \right]dx$

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Answer 1

Antes de calcular a integral, vamos analisar o integrando. 1/(x-1) não oferece dificuldade. O somatório do denominador é uma soma de termos de uma progressão geométrica e podemos recorrer a identidade

( I ) $1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} = \dfrac{x^n -1}{x- 1}$

Para o numerador também é possível encontrar uma fórmula fechada mas não será necessário. Consideremos a função

$f(x) = 1 + x + \cdots x^{2019} = \displaystyle \sum_{k = 0 }^{2019} x^k$

Então sua derivada é

$f'(x) = 1 + 2x + \cdots 2019x^{2018} = \displaystyle \sum_{k = 0 }^{2018} (k+1)x^k$

Ou seja, é o somatório do numerador. Logo, a integral que queremos calcular é

$I = \displaystyle \int \left[ \dfrac 1{x-1} + \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{2019} x^k}\right] dx = \int \dfrac 1{x-1}\, dx + \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \,dx$

A primeira integral é ln|x-1| + C. Para a segunda, basta usar a mudança de variável y = f(x) ⇒ dy = f'(x) dx e obter ln|f(x)| + C. Portanto:

$I = \ln |x-1| + \ln |f(x)| + C$

Podemos simplificar a expressão acima usando ( I ):

$I = \ln |x-1| + \ln \left| \dfrac{x^{2020}-1}{x-1} \right| + C \implies \boxed{ I = \ln |x^{2020} -1| + C}$

Logo, a resposta é ln|x²⁰²⁰-1|

Obs: Também podemos usar que

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k = \dfrac{2019x^{2020} - 2020x^{2019}+ 1}{(x-1)^2}$

e chegar a conclusão que

$\dfrac 1{x-1} + \dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{2019} x^k} = \dfrac{2020 x^{2019}}{x^{2020} -1}$

E resolver a integral usando a substituição y = x²⁰²⁰.

Resposta:

A integral é  ln|x²⁰²⁰-1 | + C