Respostas
Resposta:
Olá
Explicação passo-a-passo:
Iremos recorre a propriedade:
Ajustando o limite nos moldes acima:
Portanto,
Aplique L'Hospital em
obtemos
Desse modo,
portanto,
Bons estudos
Seja L o limite que queremos calcular. Isto é,
Sem usar L'Hopital, vamos recorrer aos limites fundamentais do seno e da exponencial:
( I )
( II )
Voltando ao problema, como o logaritmo é contínuo vale que
supondo é claro que o limite acima exista e esteja no intervalo [0, ∞]. De fato, escrevendo sen(x) + cos(x) = 1 + t segue que quando x tende a 0, t também aproxima de 0. Daí temos
Observe na última expressão que o primeiro limite tende a 1 por ( II ) e o segundo é a soma de sen(x)/x com (cos(x) - 1)/x que também tende a 1 por ( I ). Portanto concluímos que:
ln L = 1
L = e
Portanto, o limite procurado é 'e'
Obs.: Sobre a mudança de variável notamos que:
( III )
Assim, quando escrevermos
ainda não foi feita nenhuma mudança de variável. Apenas usamos a letra t pra representar a expressão sen(x)+cos(x)-1 e "motivar" a forma como multiplicamos e dividimos em ( III ). O passo seguinte seria separar os limites num produto de limites:
A igualdade acima é verdade desde os dois limites do lado direito da equação existam (o que de fato acontece). O limite mais a direita tende a 1 e no da esquerda fazemos a mudança de variável: t = sen(x) + cos(x) - 1. Ou seja, a mudança de variável ocorre apenas nessa passagem, antes era um artifício para visualização. Essa mudança é válida pois a função f(x) = sen(x) + cos(x) - 1 é contínua e g(x) = ln(1+x)/x se x ≠ 0, g(0) = 1 também é contínua ( em f(0)). Daí, mais formalmente a mudança de variável é o mesmo que:
Resposta:
O limite é e ≈ 2,718
lim sen(x) / x = 1 quando x tende a 0
Isso quer dizer que para x próximo de 0, o quociente acima é aproximadamente 1. Ou seja, sen(x) é aproximadamente x.
lim (1 + 1/n)^n , n tendendo a infinito
1+ 1/n é aproximadamente 1 pra n grande, então vc poderia dizer que
(1+1/n)^n é aproximadamente 1^n
E isso é falso
lim senx^senx = lim y^y
do que justificar que a aproximaçao de sen(x) por x não altera o limite
lim (x - senx)/x³
O resultado disso é 1/6
Mas se você usar que senx = x não vai dar certo lol
sen x = x - x³/6
que é melhor, chegaremos na resposta correta