Question

Na equação exponencial expressa abaixo, qual é
o valor da raiz x?​

Answer 1

Perceba que "8" e "64" podem ser reescritos como potências de 2:

$8^{(x+2)}~=~\dfrac{1}{64}\\\\\\\boxed{\left(2^3\right)^{(x+2)}~=~\dfrac{1}{2^6}}$

Podemos agora utilizar as propriedades de potenciação para achar uma solução para a equação.

Utilizando a propriedade da potencia de potencia, temos:

$2^{\,3.(x+2)}~=~\dfrac{1}{2^6}$

Utilizando a propriedade da potencia de expoente negativo, temos:

$2^{\,3.(x+2)}~=~2^{-6}$

Como as bases das potencias em ambos lados da equação são iguais, para que a igualdade seja respeitada, necessariamente os expoentes também devem ser iguais.

Em outras palavras, podemos "cortar" as bases:

$2\!\!\!\backslash^{\,3.(x+2)}~=~2\!\!\!\backslash^{-6}\\\\\\3.(x+2)~=~-6\\\\\\x+2~=~\dfrac{-6}{3}\\\\\\x+2~=~-2\\\\\\x~=~-2-2\\\\\\\boxed{x~=~-4}$

Como o valor de "x" é negativo, não teremos uma raiz quadrada de "x" nos Reais.

Nos complexos, a raiz quadrada de "x" fica:

$\sqrt{x}~=~\sqrt{-4}\\\\\\\sqrt{x}~=~\sqrt{4\cdot(-1)\,}\\\\\\\sqrt{x}~=~\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}\\\\\\\boxed{\sqrt{x}~=~2\cdot i}$