Question

Três números estão em PG, sendo que a soma desses números é 26 e o produto entre
eles é 216 . Determine os três números.

Answer 1

Resposta:

2,6,18

Explicação passo-a-passo:

A sequência de três termos de uma PG pode ser escrita assim:

$\frac{n}{q} ,n,n*q$

em que "n" é o número e "q" é a razão.

O exercício fala que o produto entre eles é 216, logo:

$(\frac{n}{q}) *(n)*(n*q)=216$

$\frac{n^{3}q }{q} =216$

$n^{3} =216$

$n=\sqrt[3]{216}$

$n=6$

Sabendo que o termo central é 6, agora é possível calcular a razão pois sabe-se que a soma dos 3 termos é 26:

$(\frac{n}{q}) +(n)+(n*q)=26$

$(\frac{6}{q}) +(6)+(6*q)=26$

$\frac{6}{q} +6+6q=26$

$\frac{6+6q+6q^{2} }{q} =\frac{26q}{q}$

$6q^{2}+6q+6 = 26q$

$6q^{2}+6q-26q+6 = 0$

$6q^{2}-20q+6 = 0$

Fazendo báskhara, temos:

$q=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$q=\frac{20+\sqrt{400-144 } }{12}$

$q=\frac{20+\sqrt{256} }{12}$

$q=\frac{20+16}{12}$

$q=3$

Portanto, a razão vale 3.

Sabendo disso, os números são:

$\frac{n}{q} ,n,n*q$

$\frac{6}{3},6,6*3$

2,6,18