Question

Alguém, por favor:
Prove que:

Seja Ω ⊂ $\mathbb{R}^n$ um aberto e considerare a equação eliptica não degenerada
$F(.,u,Du,D^2u)=0$
onde F é contínua em Ω × R × R^n × S (n) e satisfaz

X ≤ Y in S(n) ⇒ F(x, r, p, X) ≤ F(x, r, p, Y )
(S(n) conjunto das matrizes simétricas nxn)

Se u é uma solução de viscosidade em Ω, u resolve a equação parcial F classicamente diferenciável duas vezes. Por outro lado, se u é duas vezes diferenciável e satisfaz F pontualmente em Ω, então u é uma solução de viscosidade em Ω.


Alguém me de uma luz.!!!

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Usarei um conceito mais geral de derivada pontual. Existem artigos que abordam esse conceito:

Começo definindo Super-jet de segunda ordem.

$J^{2,+}u(x):=\{(p,X)\in \mathbb{R}^n\times S(n): x\to 0, temos: u(x+y)\leq u(y)+p.x+\frac{1}{2}X.x\otimes x+o(|x|^2)\}$

e

$J^{2,-}u(x):=\{(p,X)\in \mathbb{R}^n\times S(n): x\to 0, temos: u(x+y)\geq u(y)+p.x+\frac{1}{2}X.x\otimes x+o(|x|^2)\}$

Obs: Entenda o sub-jet em "P" como as aproximações lineares de um lado

e "X"as aproximações quadráticas desse mesmo lado.

Vamos iniciar a demonstração:

($\Rightarrow$) Considere  sendo uma solução de viscosidade. Suporemos que  u é de classe C^2.

Por consequência da definição de Super-Jet, decorre o seguinte

$(Du(x),D^2u(x))\in J^{2,\pm}u(x)$

Sendo u uma solução de viscosidade, temos o seguinte:

$0\leq F(x,u(x),Du(x),D^2u(x))\leq 0$

(Sugiro uma leitura em: K. S. Mallikarjuna  Introduction to the Theory of Viscosity  Solutions)

Portanto, u é solução pontual da equação F.

($\Leftarrow$)Por outro lado, vamos supor que u seja duas vezes diferenciável e solução clássica da equação parcial F.

Nessa parte da demonstração vemos o grande interesse em se estudar soluções de viscosidade. Em geral, não é verdade que solução clássica é uma solução de viscosidade em Ω.

Dada a complexidade da prova, o uso do conceito de "Jet" nos oferece uma prova alternativa.    

Vamos fixar um ponto x em $\Omega$ de tal modo que u seja C^2 nesse ponto. Logo, o super-jet relativo a esse ponto e a essa solução é não vazio, então

existe p ∈ ,

u(z + x) − u(x) ≤ $p^+.z+o(|z|)$

−u(z + x) + u(x) ≤ $-p^{-}$ · z + o(|z|)

como $z\to 0$. Temos z := εw, onde ε > 0 e |w| = 1. Dessas desigualdades obtemos

$p^{-}-p^{+}.w=\leq \frac{o(\varepsilon)}{\varepsilon}, \varepsilon \to 0$

De posse disso, passamos o limite

$|p^--p^+|=\max_{|w=1|}\{(p^--p^+).w\}\leq 0$

o que resulta

$u(z+x)=u(x)+p.z+o(|z|), z\to 0$

Isto equivale a dizer que $p=Du(x).$

Assim, dado qualquer ponto (p,X) em $J^{2,+}u(x)$ obtemos do fato de F ter elipticidade não degenerada que

$0\leq F(x,u(x),Du(x),D^2u(x))=F(x,u(x),p,D^2u(x))\leq F(x,u(x),p,X)$

Por fim, obtemos que u é solução de viscosidade da EDP F. Então fica provado o teorema.

                                                                                                                    $\square$

Caso de dúvida, comente que eu retorno a explicação.

att

GarciaHW