Question

Um pequeno objeto de massa m é colocado sobre a superfície de uma cúpula esférica de raio R, como mostra a figura abaixo. Se o objeto inicia um movimento de escorregamento em um ângulo θ =45°, o coeficiente de atrito estático μ entre o objeto e a superfície é aproximadamente:
a) 0,58

b) 1,7

c) 0,87

d) 1,4

e) 0,71

Answer 1

Resposta:  a) 0,58

Explicação:

Se fizermos a decomposição vetorial da força peso (P), obteremos que a força normal (N) tem a mesma direção e sentido oposto à uma das componentes do peso:

N = P*cos(θ)

Se a normal e uma componente do peso se anulam, consequentemente a outra componente do peso será responsável pelo movimento.

Raciocinando que a força de atrito (Fat) tem sempre sentido oposto à tendência do movimento, obtemos que a outra componente do peso tem a mesma direção e sentido oposto à força de atrito:

Fat = P*sen(θ)

O real problema é que o ângulo dado faz referência ao momento que o corpo está deslizando, se o corpo está deslizando não existe atrito estático.

Para obtermos o coeficiente de atrito precisaremos considerar um deslocamento angular anterior ao deslizamento. Tendo em vista os ângulos notáveis iremos definir θ = 30º.

Substituindo:

N = P*cos(30º)

Fat = P*sen(30º)

Agora além de conhecer os valores do seno e do cosseno:

sen(30º) =  1/2

cos(30º) =  /2

Sabemos uma fórmula que relaciona força de atrito com a força normal:

Fat = μ * N

Sendo 'μ' o coeficiente de atrito estático e substituindo os valores de Fat e N em função do peso:

P*sen(30º) = μ * P*cos(30º)

μ = P*sen(30º) / P*cos(30º)     ---- dividindo peso por peso e cos por sen

μ =   (1/2)  /  ($\sqrt{3}$/2)  = tg(30º)

μ = $\sqrt{3}$/3

μ ≅ 0,58

Abraço do Jorjão Marmota :)

Answer 2

O coeficiente de atrito estático vale 1.

Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Se selecionarmos uma porção pequena da superfície da esfera onde o objeto está em contato, podemos notar que temos, aproximadamente, um plano inclinado com o mesmo ângulo de inclinação do ângulo θ central (conforme podemos ver na figura anexada).

Quando se mede o coeficiente de atrito estático em um plano inclinado vai-se aumentando o ângulo de inclinação até que o objeto pare de cair (ou seja, quando o peso é maior que a força de atrito). E, exatamente nesse instante, afere-se o coeficiente de atrito estático. Logo, vamos utilizar o maior ângulo antes de o objeto começar a se movimentar, ou seja, 45º.

Pela figura, vemos que a força normal vale:

N = Pcosθ

E a força de atrito será:

Fat = Psenθ

Deste modo, teremos:

Fat = Psenθ

μN = Psenθ

μ*(Pcosθ) = Psenθ

μ = Psenθ/(Pcosθ) = senθ/cosθ = tgθ = tg45º = 1

O que mais se aproxima desse valor é a letra c), 0,87. Contudo acredito que as alternativas possam estar erradas.

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