Question

[Problema n°. 4. Nível Pleno] Prove que, para $a,b \in (0,1]$ é válida a seguinte desigualdade:

$\displaystyle\frac{1}{\displaystyle \sqrt{1+a^2-\frac{(a-b)^2}{2}}}+\frac{1}{\displaystyle \sqrt{1+b^2-\frac{(b - a)^2}{2}}} \geqslant \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$


$\text{PG}\red{[+18]}$RESTRICTED: Parental accompaniment required for younger audiences, LOL.​

Answer 1

Recordamos a desigualdade de Jensen. Se f(x) é convexa então vale

$f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leq \dfrac{f(x)+f(y)}2$

Considerando f(x) = 1 / √x, sua derivada segunda é positiva no intervalo (0,∞). Portanto f é convexa. Notamos que

$\begin{cases} x = 1 + a^2 - \dfrac{(a-b)^2}{2} \\[2ex] y = 1 + b^2 - \dfrac{(a-b)^2}{2} \end{cases} \implies \dfrac{x+y}{2} = 1+ab$

Note que  a e b no intervalo (0,1] implicam x e y positivos. Logo aplicando a desigualdade temos:

$\dfrac1{\sqrt{\dfrac{x+y}2}} \leq \dfrac 12\left( \dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac 1{\sqrt y}\right) \implies \dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac 1{\sqrt y} \geq \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{x+y}2}}$

Substituindo os valores de x e y obtemos:

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2 - \dfrac{(a-b)^2}{2}}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+b^2 - \dfrac{(a-b)^2}{2}}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{1+ab}}$

como queríamos.