Question

Uma empresa criou uma linha de montagem para fabricar um novo modelo de telefone celular. A taxa de produção dos telefones é dada por $\frac{dP}{dt}=1.500 (2-\frac{t}{2t+5} )$ unidades por mês.

Determine quantos telefones serão produzidos no terceiro mês.

Answer 1

$\mathtt{\dfrac{dP}{dt}=1500(2-\dfrac{t}{2t+5})}\\\mathtt{dP=1500(2-\dfrac{t}{2t+5})dt}$

$\mathtt{\int\,dP=\int\,1500(2-\dfrac{t}{2t+5})dt}\\\mathtt{P(t)=1500.2\int\,dt-1500\int\dfrac{t}{2t+5}dt}$

$\mathtt{\int\dfrac{t}{2t+5}dt} \\\mathtt{u=2t+5\to\,\dfrac{1}{2}du=dt}\\\mathtt{t=\dfrac{u-5}{2}}$

$\mathtt{\int\dfrac{t}{2t+5}dt}=\mathtt{\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\frac{u-5}{2}}{u}du}\\\mathtt{\dfrac{1}{4}\int\dfrac{u-5}{u}du}\\\mathtt{\dfrac{1}{4}\int\,du-\dfrac{5}{4}\int\dfrac{du}{u}=\dfrac{1}{4}u-\dfrac{5}{4}ln|u|+k}$

$\mathtt{\dfrac{1}{4}(2t+5)-\dfrac{5}{4}ln|2t+5|+k}$

$\mathtt{P(t)=3000t-750t+1875-1875ln|2t+5|}\\\mathtt{P(t)=2250t+1875-1875ln|2t+5|}$

$\mathtt{P(3)\approx4128\,telefones}$