Question

log5 (x+2)- log 1/5 (x-6)= log 5 (2x-5) Alguém pode me ajudar? por favor, já tentei resolver ela mas não consegui, se possível resolva detalhadamente. Obrigada.

Answer 1

Olá,

vamos primeiro estabelecer a condição para que os logaritmos acima, existam..

$\begin{cases}x+2\ \textgreater \ 0~~~~x-6\ \textgreater \ 0~~~~2x-5\ \textgreater \ 0\\ x\ \textgreater \ -2~~~~~~~x\ \textgreater \ 6~~~~~~~~~2x\ \textgreater \ 5\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x\ \textgreater \ \dfrac{5}{2} \end{cases}$

Feito isso, podemos ver a propriedade que usaremos..

MUDANÇA DE BASE:

$\boxed{log_b(a)= \dfrac{log(a)}{log(b)}}$

DECORRENTE DA DEFINIÇÃO:

$\boxed{log_b\left(\dfrac{1}{b}\right)=-1}$

DO PRODUTO:

$\boxed{log_b(a)+log_b(c)\Rightarrow log_b(a\cdot c)}$


Vamos à equação..

$\log_5(x+2)-\log_{ \tfrac{1}{5}}(x-6)=\log_5(2x-5)\\\\ \log_5(x+2)- \dfrac{\log_5(x-6)}{\log_5\left( \dfrac{1}{5}\right) }=\log_5(2x-5)\\\\ \log_5(x+2)- \dfrac{\log_5(x-6)}{-1}}=\log_5(2x-5)\\\\ \log_5(x+2)+\log_5(x-6)=\log_5(2x-5)\\ \log_5[(x+2)\cdot(x-6)]=\log_5(2x-5)\\ \log_5(x^2-4x-12)=\log_5(2x-5)\\\\ x^2-4x-12=2x-5\\ x^2-6x-7=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)\\ \Delta=36+28\\ \Delta=64\\\\ x= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{64} }{2\cdot1}= \dfrac{6\pm8}{2}\begin{cases}x'=7\\ x''=-1~~(n\~ao~atende)\end{cases}\\\\\\ \huge\boxed{\boxed{S=\{7\}}}$

Tenha ótimos estudos ;D