Question

Se C(x) = 16000 + 500x - 1,6x2 + 0,004x3 for a função custo e p(x) = 1700 - 7x a função demanda, encontre o nível de produção que maximiza o lucro

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

C(x) = 16000 + 500x - 1,6x² + 0,004x³

p(x) = 1700 - 7x

A função lucro é:

L = RT - CT

Em que:

RT é a receita total, sendo dada por RT = p.x

Assim:

RT = (1700 - 7x)x => RT = 1700x - 7x²

CT é a função custo.

Sendo assim:

L = 1700x - 7x² - (16000 + 500x - 1,6x² + 0,004x³)

L = 1700x - 7x² - 16000 - 500x + 1,6x² - 0,004x³

L = - 0,004x³ - 5,4x² + 1200x - 16000

Deriva a função do lucro e iguala a zero:

dL/dx = -0,012x² - 10,8x + 1200

dL/dx = 0 => -0,012x² - 10,8x + 1200 = 0

-0,012x² - 10,8x + 1200 = 0

Δ = (-10,8)² - 4(-0,012)(1200)

Δ = 116,84 + 57,6

Δ = 174,44

x = (-(-10,8) ±√174,44) / 2(-0,012)

x = (10,8 ±13,2) / (-0,024)

x = (10,8 +13,2) / (-0,024)

x = (24) / (-0,024)

x = -1000

x = (10,8 -13,2) / (-0,024)

x = (-2,4) / (-0,024)

x = 100

Como x é a quantidade produzida, x > 0

Assim, vamos testar se x = 100 é um ponto de máximo. Para tal precisamo que d²L/dx² < 0, logo:

d²L/dx² = -0,024x - 10,8

Para x = 100:

d²L/dx² = -0,024(100) - 10,8

d²L/dx² = -2,4 - 10,8

d²L/dx² = -13,2 < 0

Assim, x = 100 é um ponto de máximo. Logo: Resposta: x = 100