Question

Alguém....

MOSTRE QUE:
Seja f : R $\to$R uma função que tem derivada contínua uniformemente. Então

$\lim_{x\to\infty}n( f( x+\frac{1}{n})-f(x))=f'(x)$

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, por hipótese temos que a função f' é uniformemente contínua em R, isto é

Dado um ε > 0  arbitrário, existe δ > 0 tal que |f'(x)−f'(y)|<ε dado quaisquer  valores x, y ∈ $\mathbb{R}$ desde que ocorra |x−y| < δ. Agora, se tomarmos  N ∈ $\mathbb{N}$ tal que para todo n ≥ N vale 1/n < δ, decorre que  quaisquer x, y ∈ R ficamos com

|f'(t) − f'(x)| < ε, para todo t ∈  (x,x+1/n)

Seguindo com a diferenciabilidade da f, vamos utilizar oTeorema do valor médio.

$\left| n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))-f'(x) \right|=$

$=|f'(t_n)-f'(x)|<\varepsilon$ (vale para algum t_n no intervalo definido acima.)

∴ Segue o desejado

$\lim_{x\to\infty}n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))=f'(x)$

                                                                                                                            $\square$

Bons estudos.

Caso precise basta avisar.