Question

PRECISO PARA HOJE
Análise Funcional

Justifique:
Assuma que as funções
f_1, . . . , f_n são funcionais lineares sobre um espaço vetorial E. ENTÃO se f ∈ E* é
tal que ∩Ker (f_i) ⊆ Ker f, f será uma conbinação linear das funções f_i.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Dada a complexidade da sua pergunta irei assumir conhecidas determinadas notações e conceitos.

Pois bem, seja $K$um corpo. Vamos considerar a função $F\colon E \to K^n$ definida por

$F(x) = \begin{pmatrix}f_1(x)\\ f_2(x)\\ \vdots \\ f_n(x)\end{pmatrix}.$

e seja $R={im} F \subset K^n$ nós temos um isomorfismo

$\tilde{F}\colon E/\ker F \xrightarrow{\sim} R$

Desde que

$\bigcap\limits_{k=1}^n \ker f_k = \ker F \subset \ker f,$

disso podemos gerar o isomorfismo

$\tilde{f} \colon E/\ker F \to K$ e $\hat{f} := \tilde{f} \circ \tilde{F}^{-1}$

Assim, podemos estender a função $\hat{f}$ para todo $K^n$ (OBS: estendendo a uma base de$R$  para uma base de $K^n$)

existe uma forma linear $\lambda \colon K^n \to K$ com

$\lambda \circ F = \lambda\lvert_R \circ F = \hat{f}\circ F = \tilde{f}\circ \tilde{F}^{-1}\circ F = \tilde{f} \circ \pi = f,$

onde $\pi \colon X \to X/\ker F$ é a conhecida projeção canônica.

Lembre que toda forma linear $K^n\to K$ pode ser escrita como uma combinação linear de projeções componentes, logo existem  $a_1,\dotsc, a_n$ tais que

$\lambda\begin{pmatrix}u_1\\u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} = \sum_{k=1}^n a_k\cdot u_k,$

o que significa

$f(x) = \lambda(F(x)) = \sum_{k=1}^n a_k\cdot f_k(x)$

para todo $x\in E$, ou

$f = \sum_{k=1}^n a_k\cdot f_k.$

Att

GarciaHW