Question

A abcissa de um ponto P é -6 e sua distancia ao ponto Q(1,3) é √74. Determine a ordenada do ponto.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉

Sabemos que para calcular a distância entre dois pontos relacionamos a variação das ordenadas e a variação das abscissas, sendo representado por:

$\large d = \boxed{ \sqrt{(xq - xp) {}^{2} + (yq - yp) {}^{2} } }$

Temos os elementos xp, xq, yp e yq, tais elementos representam os valores das abscissas e ordenadas dos pontos P e Q.

Sabendo que uma coordenada é expressa da seguinte forma, vamos encontrar os valores de P e Q.

$\begin{cases} \text{A(abscissa ,ordenada } \\ abscissa \rightarrow valor \: de \: x \\ ordenada \rightarrow valor \: de \: y \end{cases}$

Seguindo esse mesmo princípio, vamos encontrar os valores.

Mas antes vamos interpretar a coordenada do ponto P. A questão fala que a abscissa possui o valor de -6 e a ordenada é um valor desconhecido, então a coordenada é P(-6, y)

$\begin{cases}Q(1,3) \rightarrow \: xq = 1 \: \: \: \: yq = 3 \\P( - 6,y) \rightarrow \: xp = - 6 \: \: \: yp = y \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$d = \sqrt{(1 - ( - 6)) {}^{2} + (3 - y) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{(1 + 6) {}^{2} +(3 - y) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{(7) {}^{2} + 9 - 6y + y {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{49 + 9 - 6y + y {}^{2} } \\ \\ \sqrt{74} = \sqrt{y {}^{2} - 6y +58 }$

Chegando aqui, teremos que elevar os dois membros da equação ao quadrado, para que os números possam sair das raízes.

$(\sqrt{74} ) {}^{2} = (\sqrt{y {}^{2} - 6y + 58 } ) {}^{2} \\ \\ 74 = y {}^{2} - 6y + 58 \\ \\ y {}^{2} - 6y + 58 - 74 = 0 \\ \\ \boxed{y {}^{2} - 6y - 16 = 0}$

Agora teremos que achar os valores de y através de uma equação do segundo grau, então vamos resolver através de Delta e Bháskara.

$y {}^{2} - 6y - 16 = 0 \\ \\ \begin{cases} a = 1 \\ b = - 6 \\ c = - 16\end{cases} \\ \\ \large\boxed{\Delta = b {}^{2} - 4.a.c} \\ \Delta = ( - 6) {}^{2} - 4.1.( - 16) \\ \Delta = 36 + 64 \\ \boxed{\Delta = 100} \\ \\ \large\boxed{y = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} } \\ y= \frac{ - ( - 6) \pm \sqrt{100} }{2.1} \\ y = \frac{6 \pm10}{2} \\ \\ y_1 = \frac{6 + 10}{2} \\ y_1 = \frac{16}{2} \\ \boxed{y_1 = 8} \\ \\ y_2 = \frac{6 - 10}{2} \\ y_2 = \frac{ - 4}{2} \\ \boxed{y_2 = - 2}$

Os possíveis valores de y são 8 e -2, então a Ordenada pode assumir esses dois valores.

Resposta: 8 e -2

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores das ordenadas para o ponto "P" são, respectivamente:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -2\:\:\:e\:\:\:y'' = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Analisando o enunciado, podemos montar os seguintes dados:

                          $\Large\begin{cases}d_{\overline{PQ}} = \sqrt{74}\\P = (-6,\,y)\\ Q = (1, 3)\end{cases}$

Sabendo que a distância entre os pontos "P" e "Q" pode ser desenvolvida a partir da seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{PQ}} = \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}}\end{gathered} }$

Para facilitar os cálculos podemos inverter os membros da equação "I". Então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} = d_{\overline{PQ}}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}} = \sqrt{74}\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = (\sqrt[\!\diagup]{74})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (1 + 6)^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 49 + 9 - 6y + y^{2} = 74\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y + 49 + 9 - 74 = 0\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y - 16 = 0\end{gathered}$

Chegando na equação do segundo grau, devemos calcular as raízes. Então, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-16)}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 64}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{100}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{6\pm10}{2}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm5\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

     $\Large\begin{cases} y' = 3 - 5 = -2\\y'' = 3 + 5 = 8\end{cases}$

Portanto, as ordenadas do ponto P pertencem ao seguinte conjunto solução:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2,\,8\}\end{gathered}$

✅ Desta forma, as possíveis coordenadas do ponto P são:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} P' = (-6,\,-2)\:\:\:e\:\:\:P'' = (-6,\,8)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$