Question

Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
$(a)f(x)=\left \{ {{\frac{x^2-4}{x-2},\ se\ x\neq2 } \atop {L,\ se\ x=2}} \right. em\ p=2\\\\(b) f(x)=\left \{ {{\frac{x^2-x}{x} ,\ se\ x\neq0 } \atop {L,\ se\ x=0}} \right. em\ p=0$

Answer 1

Definição de continuidade

Uma função é contínua em x=a quando:

$\mathsf{f(a)}$ está definida ✅

$\displaystyle\mathsf{lim_{x \to a}f(x)}$existe ✅

$\displaystyle\mathtt{lim_{x \to a}f(x)=f(a)}$✅

$f(x)=\left \{ {{\frac{x^2-4}{x-2},\ se\ x\neq2 } \atop {L,\ se\ x=2}} \right. em\ p=2$

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to {2}^{+}}f(x)}\\=\mathtt{\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}}\\ = \displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 2}x+2=4}$

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to {2}^{ - }}f(x)}\\=\mathtt{\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}}\\ = \displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 2}x+2=4}$

Para ser contínua é preciso que

$\mathtt{\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)=f(2)}$

$\mathtt{f(2)=4}$

$\boxed{\boxed{\mathtt{L=4}}}$

b)

$\mathtt{f(x)=\left \{ {{\frac{x^2-x}{x} ,\ se\ x\neq0 } \atop {L,\ se\ x=0}} \right. em\ p=0}$

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 0}\dfrac{{x}^{2}-x}{x}}\\\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to \: 0}\dfrac{x(x-1)}{x}}\\\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 0}x-1=-1}$

Para ser contínua

$\displaystyle{\mathtt{\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)}}$

$\mathtt{f(0)=-1}$

$\boxed{\boxed{\mathtt{L=-1}}}$