Question

A função primitiva de ∫ ( cos x + 1/x - x³ ) dx é:

Answer 1

Primeiro lembramos algumas propriedades de integrais:

Se f(x) e g(x) são integráveis então f(x)+g(x) é integrável é vale que

$\mathsf{\displaystyle \int f(x) +g(x)\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx }$

Algumas primitivas:

Se f(x) = xⁿ com n ≠ -1 temos

$\mathsf{\displaystyle \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$

Se f(x) = 1/x então

$\mathsf{\displaystyle \int \dfrac 1x\, dx = \ln |x|+C}$

Para f(x) = cos(x) temos

$\mathsf{\displaystyle \int \cos x\, dx =\sin x+C}$

Portanto temos:

$\mathsf{\displaystyle \int \cos x+ \dfrac 1x - x^3\, dx = \int \cos x\, dx + \int \dfrac 1x \, dx - \int x^3\, dx = \sin x + \ln|x| - \dfrac{x^4}{4} + C}$

Resposta:

A primitiva é

$\mathsf{ \sin x + \ln|x| - \dfrac{x^4}{4} + C}$