Question

Qual deve ser o valor de y que faz com que os pontos (2,y) B(-1,6) e C(-3,4) sejam alinhados?​

Answer 1

Olá, boa madrugada ◉‿◉.

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de sua preferência envolvendo a matriz das coordenadas.

Tal DETERMINANTE possui a seguinte estrutura:

$\begin{pmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{pmatrix} \tiny(3 \times3)$

Podemos montar uma "fórmula" para calcular esse determinante através da resolução do mesmo, usarei o método de Sarrus.

$\begin{pmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} xa&ya& \\ xb&yb \\ xc&yc \end{pmatrix} \\ \\ \scriptsize Determinante = Diagonal \: P - Diagonal \: S \\ \scriptsize 0 = (xa).(yb).1 + ya.1.xc + 1.xb.yc - (xc.yb.1 + yc.1.xa + 1.xb.ya) \\ \boxed{\boxed{\scriptsize 0 = xa.yb + ya.xc + xb.yc - xc.yb - yc.xa - xb.ya}}$

Podemos usar essa fórmula ou calcular o DETERMINANTE normalmente.

Observe que temos os elementos Xa, x

Xb, Xc... eles representam os valores das abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C.

Sabendo que uma coordenada é expressa dessa forma:

$\begin{cases}T(abscissa,ordenada) \\ abscissa \rightarrow valor \: de \: x \\ ordenada \rightarrow valor \: de \: y \end{cases}$

Seguindo esse mesmo princípio, vamos encontrar os valores de A, B e C.

$\begin{cases}A(2,y) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: ya = y\\ B(-1,6) \rightarrow xb = - 1 \: \: \: \: yb = 6 \\ C(-3,4) \rightarrow xc = - 3 \: \: \: \: yc = 4 \end{cases}$

Agora vamos fazer a substituição no DETERMINANTE e na fórmula, só para constar.

$\begin{cases} \begin{pmatrix}2&y&1 \\ -1& 6&1 \\ - 3&4&1 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 2 &y \\ - 1& 6 \\ - 3&4\end{pmatrix} \\ \\ \tiny Determinante = Diagonal \: P- Diagonal \:S \\ \tiny 0 = 2.( 6).1 + y.1.( - 3) + 1.( - 1).4 - (( - 3).6.1 + 4.1.2 + 1.( - 1).y) \\ \tiny 0 = 12 - 3y - 4 - ( - 18 + 8 - y) \\ \tiny 0 = 8- 3y + 10 + y \\ \tiny - 18 = - 2y \\ \tiny \: y = \frac{ - 18}{ - 2} \\ \boxed{y = 9} \end{cases}$

Agora usando a fórmula só pra constar a veracidade.

$\scriptsize{0 =xa.yb +ya.xc + xb.yc -xc.yb - yc.xa - xb.ya } \\ \scriptsize{0 = 2.6 + y.( - 3) + ( - 1).4 - ( - 3).6 - 4.2 - ( - 1).y} \\ \scriptsize 0 = 12 - 3y - 4 + 18 - 8 + y \\ \scriptsize 0 = - 3y + y + 12 + 18 - 12 \\ \scriptsize 0 = - 2y + 18 \\ \scriptsize{ 2y = 18} \\ \scriptsize y = \frac{18}{2} \\ \boxed{ y = 9}$

Portanto, o valor de y seria 9.

Resposta: y = 9

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️