Question

O resultado da equação: log3 (2x + 1) – log3 (5x -3)
= – 1 é:
(A) 12
(B) 10
(C) 8
(D) – 6
(E) 4

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação Logarítmica :

Dada a equação :

$\mathtt{ \log_{3} (2x + 1) - \log_{3} (5x - 3)~=~-1 }$

@Olà Caro usuário !

Antes de começar a resolução deste exercicio , devemos determinar o domínio de existência nos logarítmos.

Sabe-se que o logaritmando deve sempre ser maior que zero , ou seja :

$\iff \mathtt{ 2x + 1 > 0 }$

$\iff \</p><p>mathtt{ 2x > -1 }$

$\iff \mathtt{ x > -\dfrac{1}{2} }$

$\iff \mathtt{ Df_{1} : x \in ] -\dfrac{1}{2} ~;~ +\infty [ }$

Achado o segundo domínio :

$\iff \mathtt{ 5x - 3 > 0 }$

$\iff \mathtt{ 5x > 3 }$

$\iff \mathtt{ x > \dfrac{3}{5} }$

$\iff \mathtt{ Df_{2}~:~x \in ] \dfrac{3}{5}~;~+\infty [ }$

Então o domínio de toda a função , vai ser a intersecção entre os dois domínios achados :

$\mathtt{ Df_{total} = Df_{1} \Bigcap Df_{2} }$

$\mathtt{ Df_{total} = \Big( ]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty [ \Big) \Bigcap \Big( ] \dfrac{3}{5} ~;~+\infty [ \Big) }$

$\boxed{\boxed{ \mathtt{ \green{ Df_{total} : x \in ] \dfrac{3}{5}~;~+\infty [ } } } }$

Então o(s) valor(es) do x , devem estar no intervalo indicado na caixa acima .

Resolução ...

$\mathtt{\huge{ \log_{3} (2x + 1) - \log_{3} (5x - 3)~=~-1 } }$

$\iff \mathtt{ \log_{3} \Big( \dfrac{2x + 1}{5x - 3} \Big)~=~-1 }$

Aplicando a definição dos logarítmos :

$\mathtt{3^{-1}~=~ \dfrac{2x + 1}{5x - 3} }$

$\iff \mathtt{ \dfrac{1}{3}~=~ \dfrac{2x + 1}{5x - 3} }$

$\iff \mathtt{ \dfrac{1}{3} \cdot (5x - 3)~=~2x + 1 }$

$\iff \mathtt{ 5x - 3~=~6x + 3 }$

$\iff \mathtt{ -3 - 3~=~6x - 5x }$

$\iff \boxed{\boxed{ \mathtt{ \red{ x~=~-6 } } } }$

Espero ter ajudado bastante!)