Question

A equação diferencial linear y''+hy = 1, com h pertencendo aos reais, tem todas as soluções limitadas nos reais. Sendo assim é correto afirmar que:

R: h>0.

Answer 1

Analisando a equação diferencial, notamos que ela está no formato:

$ay'' + by' + cy = r(x)$

Cuja solução é:

$y_c(x) = y_h(x) + y_p(x)$

Correspondendo às partes homogênea e particular, respectivamente.

Para resolver a parte homogênea, basta montar a equação característica de 2º grau, logo:

$y'' + hy = 1 \implies r^2 + h = 0$

E suas raízes são:

$r_{1,2} = \pm \sqrt{h}i \implies \alpha = 0, \beta = \sqrt{h}$

Então:

$y_h(x) = C_1cos{\sqrt{h}x} + C_2sen{\sqrt{h}x}$

Encontrada a solução homogêna, agora encontraremos a particular, através do métodos dos coeficientes indeterminados. O termo r(x) é uma constante, então iremos supor uma constante K como solução, logo:

$y_p(x) = K\\y'_p(x) = 0\\y''_p(x) = 0$

E aplicando na ED inicial, tem-se:

$0 + hK = 1 \implies K = \frac{1}{h}\\y_p(x) = \frac{1}{h}$

Com isso, basta montar a solução característica, que é:

$y_c(x) = C_1cos{\sqrt{h}x} + C_2sen{\sqrt{h}x} + \frac{1}{h}$

Agora, analisando a solução, podemos notar que h não pode ser negativo pois irá apresentar valores fora do domínio dos reais quando aplicado nas raízes quadradas, e, também não pode ser igual a 0 pois irá gerar uma inexistência quando aplicada na função racional.

Portanto, h > 0.

Caso tenha alguma dúvida em algum procedimento, não hesite em perguntar.

Espero ter ajudado.