Question

Determine a média aritmética das raízes da equação x4--3x2+2=0.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

As possíveis raízes serão +/- 1 ou +/- 2

Vamos testa-las:

(-1)^4 - 3(-1)^2 + 2 = 0=> 1 - 3 + 2 = 0

Então -1 é raiz

1^4 - 3.1^2 + 2 = 0 => 1 - 3 + 2 = 0

Então 1 é raiz

(-2)4 - 3(-2)^2 + 2 = 0 => 16 - 12 + 2 = 0 => 6 = 0, falso

Então -2 não é raiz

2^4 - 3.2^2 + 2 = 0 => 16 - 12 + 2 = 0 => 6 = 0, falso

Então 2 não é raiz

Vamos verificar se -1 e 1 são raízes dupla do polinomio dado, através do dispositivo de Briot Rufinni.

-1 | 1 0 -3 0 | 2

| 1 -1 -2 2 | 0

-1 | 1 -1 -2 | 2

| 1 -2 0 | 2

Então, -1 não é raiz dupla

Vamos testar agora para 1

1 | 1 -1 -2 | 2

| 1 0 -2 | 0

1 | 1 0 | -2

| 1 1 | - 1

Logo, 1 não é raiz dupla.

Assim, restou o polinômio

x^2 - 2 = 0, cujas raízes são

$x = + \sqrt{2} \: \: ou \: \: x = - \sqrt{2}$

Assim, a média aritmética das raízes será

$m = \frac{ - 1 + 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} }{4} = \frac{0}{4} = 0$