Question

Seja a função f(x) = x2 − 8x + 12
uma função polinomial de segundo grau definida de
IR  IR.
Em relação a função f(x) é correto afirmar que
(A) não possui raízes.
(B) possui um valor mínimo igual a -4.
(C) f(x) > 0 para todo x ∈]2,6[.
(D) O vértice da parábola é V(-4,4).
(E) O seu gráfico é uma parábola côncava para
baixo.

Answer 1

ao fazer o estudo da função e obter a solução desta equação do segundo grau, vemos que a alternativa B) está correta

Para obter as raízes desta função, podemos utilizar a fórmula de bhaskara, o método de completar quadrados, ou ainda podemos fazer o "chute" sobre quais são as raízes.

Esta equação pode ser descoberta pelo "chute" e mostrarei como se faz:

repare que a função

f(x) = x²-8x+12

pode ser escrita como:

f(x) = (x+a)(x+b)

onde as raízes são os valores que tornam f(x) =0

(ou seja, x= -a e x= -b)

Ao fazer a expansão, obtemos

f(x) = x²+xa+xb+ab

f(x) = x²+x(a+b)+ab

Na equação f(x) = x²-8x+12, para que o método do chute dê certo, precisamos encontrar "a" e "b" tal que

a+b=-8

ab=12

Começando por ab=12, temos como possíveis números 2*6 e 3*4

E como 2+6=8, encontramos com facilidade que a= -6 e b = -2

Portanto f(x) =(x-6)(x-2)

E as suas raízes são x=2 e x=6

Isso faz com que a letra A) esteja errada (existem duas raízes)

Para analisar a letra B), que está correta,  precisamos usar o ponto médio da parábola.

Dadas as raízes, o ponto médio da parábola será $x_{medio}\frac{2+6}{2}=4$

Portanto $f(x_{medio})=4^2-8\times4+12=-4$

Como a concavidade da função é para cima (observe que x² é positivo) então a letra C está errada. Se este intervalo fosse positivo, a função teria que estar de cabeça para baixo.

Como a letra B) está correta, então a Letra D) está errada por que só pode existir um vértice.

A letra E) está errada por que é concava para cima