Considerando uma função y=f(x), continua e derivável no intervalo I [0,8]. De acordo com os conceitos de derivadas e suas aplicações e considerando que f ' (2)=0 é um ponto máximo local, avalie as afirmações a seguir:
A) F"(2) <0
B) F"(2) >0
C) F"(2) = 0
D) A função y=f(x) é decrescente em x=3
E)A função y=f(x) é crescente em x=3
São afirmativas verdadeiras:
Respostas
Analisando o significado de cada ordem de derivadas, temos que as opções corretas são:
A) f''(2) < 0.
D) f(x) decrescente em x = 3, f'(3) < 0.
Explicação passo-a-passo:
Sabemos que a derivada de uma função nos diz coisas diferentes depende de sua ordem:
Derivadas de ordem primeira:
Positivo = função crescente.
Negativo = função decrescente.
0 = ponto de maximo ou minimo da função.
Derivadas de segunda ordem:
Positivo = função de concavidade para cima.
Negativo = função de concavidade para baixo.
0 = ponto de inflexão (troca de concavidade).
Assim se sabemos que f'(2) = 0, e ele já foi dito ser ponto maximo, isto quer dizer que antes de x = 2, a função é crescente, pois ela chega crescendo até o ponto maximo e depois de x = 2 ela é decrescente, pois ela não pode ser maior que o ponto maximo.
Sabemos também que se x = 2 é ponto maximo, então neste ponto a concavidade é para baixo, pois ela não pode crescer além deste ponto, ou seja a derivada segunda neste ponto é negativa, f''(2) < 0.
Assim analisando as alternativas as unicas corretas são:
A) f''(2) < 0.
D) f(x) decrescente em x = 3, f'(3) < 0.