Question

. Considere uma progressão geométrica de 5 termos e razão
positiva, onde a soma do primeiro com o terceiro termo é 9/2
e o
produto de seus termos é 1024. O produto dos três termos iniciais
dessa progressão é igual a:
a) 1/2
b) 1
c) 2 raiz2
d) 4 raiz2
e) 8 raiz2

Answer 1

Resposta: Letra c)

Explicação passo-a-passo:

Como é dito no enunciado, o produto dessa progressão é 1024. Então, dada a fórmula geral do produto de uma PG, temos:

$P_n=a_1^{n}*q^{\frac{n(n-1)}{2} }$

Como esse PG só tem 5 termos, então:

$P_5 =a_1^{5}*q^{10}$

$1024=a_1^{5}*q^{10}$

Sabe-se que a fórmula do termo geral de uma PG é:

$a_n=a_1*q^{n-1}$ ; onde q é a razão

Sendo assim, o terceiro termo é dado por:

$a_3=a_1*q^{2}$

A partir disso, isolamos o a1:

$a_1=\frac{a_3}{q^{2}}$

Substituindo o a1 encontrado na fórmula do produto, temos:

$1024=(\frac{a_3}{q^{2}})^{5} *q^{10}\\1024=\frac{a_3^{5}}{q^{10}} *q^{10}$

$1024=a_3^{5}\\a_3=\sqrt[5]{1024} =\sqrt[5]{2^{10}} =4$

O enunciado também informou que:

$a_1+a_3=\frac{9}{2}$

$a_1+4=\frac{9}{2}\\a_1=\frac{1}{2}$

Com os valores de a1 e a3, é possível encontrar a razão (q):

$q=\sqrt{\frac{a_3}{a_1}} \\q=\sqrt{\frac{4}{\frac{1}{2} }} \\q=2\sqrt{2}$

Então, o produto dos três termos iniciais é:

$P_3=a_1^{3}*q^{3}\\P_3=(\frac{1}{2} )^{3}*(2\sqrt{2} )^{3}\\P_3=(\frac{1}{8} )*(16\sqrt{2} )\\P_3=2\sqrt{2}$

Letra c)