Question

O congestionamento de uma cidade pode ser medido pela função () = −² +
24, em que () é o congestionamento em quilômetros em horas do dia. Pede-se:
a) Calcule o congestionamento em = 0ℎ, = 3ℎ = 18ℎ;
b) Quais são os horários em que o congestionamento é de 80 Km?
c) Qua é o crescimento médio do congestionamento entre 8 e 10 horas? E entre 14 e
16h?
d)Calcule, usando a definição de derivada e aplicando a derivação polinomial, a taxa de
crescimento instantânea às 6h e às 18h e ao meio dia.
e) Qual é o período em que o congestionamento é crescente? E decrescente?
f) Qual é o horário de pico do congestionamento? Ele atinge quantos quilômetros
nesse horário?
g) Faça o gráfico de () = −² + 24 e estabeleça a relação entre a derivada da
função e o crescimento ou decrescimento do congestionamento.​

Answer 1

Resposta:

C(t) = -t^{2} +24t

A) Calcule o congestionamento em = 0ℎ, = 3ℎ = 18ℎ;

A.1) Para t =0:

$C(t) = -t^{2} +24t\\C(0) = -0^{2} +24*0\\C(0)=0$

A.2) Para t = 3:

$C(3) = -(3^{2}) +24*3\\C(3) = -9+(24*3)\\C(3)=63$

A.3) Para t = 18

$C(18) = -(18^{2}) +24*18\\C(18) = -324 +432\\C(18)=108$

B) Quais são os horários em que o congestionamento é de 80 Km?

$C(t) = -t^{2} +24t\\80 = -t^{2} +24t\\0=-t^{2} +24t-80$

assim temos uma equação do segundo grau.

fariamos Bhaskara e acharíamos as raizes, sendo elas 4 e 20

assim o congestionamento é de 80 km as 4 hr e as 20 hrs

C) Qua é o crescimento médio do congestionamento entre 8 e 10 horas? E entre 14 e 16h?

OBS: Para calcular o crescimento medio no intervalo pedido precisamos calcular o congestionamento nos pontos (subistituindo na equação como fizemos ate aqui). Vou pular o calculo nos ponto e ja vou colocar o resultado deles para não ficar muito grande.

Então vamos fazer o seguinte:

Calcular o C(t1) e C(t2) e dividir pelo intervalo de tempo entre eles:

OBS: Lembre q deve fazer final menos inicial (como na física)

entre 8 e 10 horas:

$Cm= \frac{C(10)-C(8)}{2}\\\\Cm= \frac{140-128}{2}\\\\Cm= \frac{12}{2}\\\\Cm=6km/h$

ou seja, a cada hora o congestionamento cresce 6 km

E entre 14 e 16h:

$Cm= \frac{C(16)-C(14)}{2}\\\\Cm= \frac{128-140}{2}\\\\Cm= \frac{-12}{2}\\\\Cm=-6km/h$

ou seja, a cada hora o congestionamento decresce 6 km

D) Calcule, usando a definição de derivada e aplicando a derivação polinomial, a taxa de crescimento instantânea às 6h e às 18h e ao meio dia.

$C(t) = -t^{2} +24t$

Vamos derivar em função de t tendo como resultado:

$C'(t) = -2 +24t$

Usamos duas regas de derivação

$Derivada\ de\ x^{n}\ que resulta\ n*t^{n-1}$

e

$Derivada\ de\ nx\ q\ resulta\ n$

ai é so aplicar C'(t)=-2t+24 nos intervalos pedidos q são 6, 18 e 12 hrs

---------------------         -----------------------       ------------------------

C'(6) = (-2*6)+24          C'(18) = (-2*18)+24      C'(12) = (-2*12)+24

C'(6) = -12+24              C'(18) = -36+24           C'(12) = -24+24

C'(6) = 12                     C'(6) = -12                    C'(12) = 0

--------------------           ---------------------       ------------------------

E) Qual é o período em que o congestionamento é crescente? E decrescente?

Como vimos anteriormente, a C'(t) q é a função derivada da C(t) é:

C'(t) = -2t+24

olhando podemos afirmar q:

1. A equação corresponde a uma reta.
2. A reta é decrescente pois o coeficiente q acompanha a variavel 't' é negativo (-2).

Assim podemos analisar a reta e sabendo q essa reta corresponde a taxa de variação da função C(t).

podemos concluir q onde C'(t) é negativo significa q a função C(t) está decrescendo.

e onde C'(t) é positivo significa q a função C(t) está crescendo.

Para saber onde  C'(t) é negativo e positivo vamos fazer o C'(t) =0

encontrando o ponto 't' onde a função é zero ( vou chama-lo de P)

assim para todo t > P teremos q C'(t) é positiva, logo C(t) está crescendo

e para todo t < P teremos q C'(t) é negativo, logo C(t) está decrescendo.

C'(t) = -2t+24

0 = -2t + 24

2t = 24

t =24/2

t = 12

assim para todo t > 12 C(t) está decrescendo e para todo t < -12 C(t) está crescendo .

(Deixarei um gráfico: Em azul a função q foi dada na questão e em vermelho ta a derivada dela)

f) Qual é o horário de pico do congestionamento? Ele atinge quantos quilômetros nesse horário?

Na questão anterior fizemos C'(t) = 0 e encontramos 12

E todo ponto onde a derivada de uma função é zero, este ponto é um ponto de maximo ou de minimo.

Neste caso sabemos q o t = 12 temos um ponto de maximo

isso pq C(t) e C'(t) são funções simples de serem analisadas, e

principalmente pq  $C(t) = -t^{2} +24t$ é uma parábola com concavidade voltada para baixo, portanto só pode ter ponto de maximo.

as 12hr o congestionamento atinge 144 km

g) Faça o gráfico de C(t) = −t² + 24t e estabeleça a relação entre a derivada da função e o crescimento ou decrescimento do congestionamento.​

Como disse vou deixar o gráfico.

Mas basicamente se trata de perceber q o grafico de C'(t) corresponde ao valor da inclinação da reta tangente a curva de C(t) em cada ponto da mesma. (Significado geométrico). Perceber q essa inclinação referes-se a taxa de variação de uma grandeza (neste caso, o congestionamento).