Question

Obtenha o valor da integral
∫0^2/PI x.SEN(2X)dx.

Answer 1

$\displaystyle\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}xsen(2x)dx}$

$\mathsf{t=2x\to~x=\dfrac{1}{2}t}\\\mathsf{dx=\dfrac{1}{2}dt}\\\mathsf{x=0\to~t=0}\\\mathsf{x=2\pi\to~t=4\pi}$

$\displaystyle\mathsf{\int\limits_{0}^{4\pi}sen(t) \dfrac{1}{2}. \frac{1}{2}t \: dt}$

$\mathsf{u=\dfrac{1}{4}t\to~du=\dfrac{1}{4}dt}\\\mathsf{dv=sen(t)dt\to~v=-cos(t)}$

$\displaystyle\mathsf{\int\limits_{0}^{4\pi}sen(t) \frac{1}{4}t \: dt} \\ = \mathsf{\frac{1}{4}t.sen(t) + \frac{1}{4} \: cos(t)\big | _{0}^{4\pi} }$

$\mathsf{\dfrac{1}{4}.4\pi.sen(4\pi)+\dfrac{1}{4}cos(4\pi)} \\\mathsf{-(\dfrac{1}{4}.0.sen(0)+\dfrac{1}{4}.cos(0))}$

$\mathsf{\dfrac{1}{4}.1-\dfrac{1}{4}=0}$

$\huge\boxed{\boxed{\displaystyle\mathsf{\int\limits_{0}^{4\pi}sen(t) \frac{1}{2}t \: dt = 0}}}$