Question

Em um campeonato de futebol, os times se enfrentam apenas uma vez.

Sabendo que o total de jogos desse campeonato é 105, determine o número de times que participaram.

Answer 1

Em um campeonato de futebol cada time irá jogar contra todos os outros. Então suponhamos que um campeonato tenha x times, cada time joga contra (x - 1) times, já que um time não pode jogar contra ele mesmo.

Então o número de partidas é dado por x(x - 1). Porém cada jogo acontece apenas uma vez, então por exemplo o jogo Atlético x Cruzeiro é o mesmo que Cruzeiro x Atlético, assim  fazendo x(x - 1) estamos contando o dobro de jogos, já que todos esses casos estão incluídos.

$\dfrac{x(x-1)}{2} = 105$

$x^2 - x = 210\\x^2 - x - 210 = 0$

Vamos resolver a equação do 2º grau usando Bhaskara.

$\Delta = (-1)^2 - 4.1.(-210)\\[1ex]\Delta = 1 + 840\\[1ex]\Delta = 841\\[1ex]\sqrt{\Delta} = 29$

$x_1 = \dfrac{-(-1)+ 29}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$x_2 = \dfrac{-(-1)+ 29}{2} = \dfrac{-28}{2} = -14$

Como a segunda raiz é negativa, ela não serve para o nosso problema. Participaram então 15 times do campeonato.