Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais.

a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6.

b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repó-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6.

Respostas

respondido por: Anônimo

Legenda:

Z = espaço amostral

X = múltiplo desejável

Y = múltiplo desejável

No geral, a resposta da A é:

N(x) = (z | z mod x = 0)

N(y) = (z | z mod y = 0)

P = (x união y) / z

Porém, essa forma de resolver precisaria escrever todos os números e formar os conjuntos.

Logo, de forma matemática, podemos pegar a união através a fórmula: (levando em consideração que X e Y não são múltiplos. O que é verdadeiro, dado que são 5 e 6)

$\frac{z}{x} + \frac{z}{y} - \frac{z}{xy}$

esta sendo derivada da seguinte maneira: z/x é igual a quantidade de múltiplos de X no espaço amostral. O mesmo para Y. E z/xy para diminuir as interseções.

Mais uma vez: a fórmula nada mais é do que X união Y.

Após isso, basta pegar o resultado e dividir por Z.

(isso porque o valor obtido acima é o total de resultados desejáveis. Ainda precisa dividir por Z para pegar a probabilidade)

o que é: 90/5 + 90/6 - 90/30 = 30 (a fórmula)

30/90 => 1/3 (dividido pelo espaço amostral)

logo, a probabilidade é 1/3

probabilidade condicional: o primeiro evento pode ter retirado uma bola múltipla de 6, o que mudaria a probabilidade do segundo.

Logo, precisa-se somar a probabilidade do evento um ter retirado uma bola múltipla e a probabilidade de não ter o feito.

probabilidade de ter retirado uma bola múltipla de 6 no primeiro evento:

90/6 = 15

15/90

segundo evento: 75/89