Question

I) Calcule o limite quando ele existir:
$\\ \boxed{a) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin(9x) }{ \sin(7x) } } \\ \\ \boxed{b) \lim_{ x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos {}^{2} (x) }{2x {}^{2} } }$
(ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*.✧.​

Answer 1

Boa tarde, Marcos!

Note que para resolver os limites dessa questão, devemos procurar retirar as indeterminações matemáticas de alguma forma, como, por exemplo, através de manipulações algébricas.

No caso dos dois itens da questão, se tentarmos resolver o limite diretamente cairemos em uma indeterminação do tipo "0/0". Nesse caso eles podem ser resolvidos tanto por manipulações, como pela Regra de L'Hôpital.

Para um melhor aprendizado, nada melhor que expor os dois métodos. Vamos lá?

Resolução da questão

Antes de iniciar a resolução, é bom lembrar de um limite fundamental:

$\large{\boxed{\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{sin(x)}{x}= 1}}}$

a) Sem L'Hôpital:

$\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{sin(9x)}{sin(7x)} \Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\lim_{x\to0}\left[\dfrac{sin(9x)}{9x}\cdot \dfrac{9x}{sin(7x)}\right]\Longleftrightarrow}}\\\\\\\mathsf{\underbrace{\lim_{x\to0}\mathsf{\dfrac{sin(9x)}{9x}}}_{1}\cdot \lim_{x\to0}\dfrac{9x}{sin(7x)}\Longleftrightarrow}}\\\\\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{9x}{7x}}{\dfrac{sin(7x)}{7x}}\Longleftrightarrow}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\lim_{x\to0}\dfrac{9}{7}}{\underbrace{\lim_{x\to0}\mathsf{\dfrac{sin(7x)}{7x}}}_1}\Longleftrightarrow}$

$\boxed{\dfrac{9}{7}}}$

Com L'Hôpital:

$\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{sin(9x)}{sin(7x)} \Longleftrightarrow}\\\\\\ \mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{9}{7}\cdot\underbrace{\mathsf{\dfrac{cos(9x)}{cos(7x)}}}_1} \Longleftrightarrow}\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{9}{7}}}$

b) Sem L'Hôpital:

$\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{1-cos^2{(x)}}{2x^2}\Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{sin^2(x)}{2x^2}\Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \left(\underbrace{{\lim_{x\to0}\mathsf{\dfrac{sin(x)}{x}}}}_1\right)^2\Longleftrightarrow}}\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}$

Com L'Hôpital:

$\mathsf{\lim_{x\to0}\dfrac{1-cos^2{(x)}}{2x^2}\Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot\underbrace{\lim_{x\to0}\mathsf{\dfrac{\not2\cdot sin(x)}{\not2x}}}_{L'Hopital}\Longleftrightarrow}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \underbrace{{\lim_{x\to0}\mathsf{\dfrac{cos(x)}{1}}}}_1\Longleftrightarrow}}\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}$

Answer 2

$\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(9x)}{cos(9x)}\implies\dfrac{ \displaystyle\sf\lim_{x \to 0}9\frac{sen(9x)}{9x}}{ 7\displaystyle\sf\lim_{ x \to 0}\frac{sen(7x)}{7x}}\\\sf\dfrac{9\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\frac{sen(9x)}{9x}}{7\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\frac{sen(7x)}{7x}}$

$\sf fac_{\!\!,}a\\\sf u=9x\\\sf u\to 0~quando~ x\to 0\\\sf t=7x\\\sf t\to 0~quando~ x\to 0$

$\sf\dfrac{9\displaystyle\sf\lim_{ x \to 0}\frac{sen(9x)}{9x}}{7\displaystyle\sf\lim_{ x \to 0}\frac{sen(7x)}{7x}} =\dfrac{9\displaystyle\sf\lim_{u \to 0}\frac{sen(u)}{u}}{7\displaystyle\sf\lim_{t \to 0}\frac{sen(t)}{t}}=\dfrac{9\cdot1}{7\cdot1}=\dfrac{9}{7}\checkmark$

$\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos^2(x)}{2x^2}\implies\displaystyle\dfrac{1}{2}\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos^2(x)}{x^2}\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0}\dfrac{sen^2(x)}{x^2}\\\sf\dfrac{1}{2}\bigg(\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{sen(x)}{x}\bigg)^2=\dfrac{1}{2}\cdot1^2=\dfrac{1}{2}\checkmark</p><p>$